Question

^_^

なぜ二次方程式が虚数解をもつときお互いが共役な複素数になるんですか？

(1) x2+px+q=0(p,g: 実数) が虚数解をもつとき, その1つをαと
する. |α| を求めよ.
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(2) z+ =2 をみたす複素数zについて, |z|を求め,zを極形式で表
2
せ.ただし,0°≦argz ≦180° とする.
(3)(2) のについて, z” が実数となる最小の自然数nを求めよ.
|精講
(1) 2次方程式 (係数は実数) が虚数解をもつとき,それらはα, a
と表せます. |α|2=ad (14) を思い出せば, 解と係数の関係
(←数学ⅡI・B21) で解決です.
(2) 分母を払えば2次方程式ですから, 解の公式でzを求めておいて
0°≦argz≦180° となる方を選ぶだけです.
(3) zが実数とは, 「z” の虚部=0」 ということです.

Answer 1

yk

二次方程式の係数が実数のとき、解の１つが虚数ならもう一方の解が共役な複素数でないと、二次方程式の係数が実数にならないからです。

例えば1+iを解に持つ二次方程式を考えて、もう一方の解をαとすると、
{x-(1+i)}(x-α)=0と表せ、展開すると、
x^2-(α+1+i)x+(1+i)α=0であり、
α+1+iと(1+i)αが共に実数となるαは1+iと共役な複素数である1-iだけで、それ以外だと係数に虚数が残ります。

ただし、二次方程式の係数が実数という条件がなければ、αはどんな値でもとることが出来るので虚数な複素数を解に持つとは言えなくなります。