解答
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基本例題150
(1) 昭和女子大
(2) 8 進法で表すと10桁となる自然数Nを, 2進法, 16進法で表すと, それぞ
(1) 2進法で表すと 10桁となるような自然数Nは何個あるか。
・基本 146,149
れ何桁の数になるか。
指針 例えば、10進法では3桁で表される自然数 A は, 100以上1000未満の数である。
指数の底はそろえておく方が考えやすい。
よって, 不等式10°≦A <10° が成り立つ。
また, 2進法で表すと3桁で表される自然数Bは,100 (2) 以上1000 (2) 未満の数であり、
100 (2)=22,1000(2) = 23 であるから,不等式 22≦B <2° が成り立つ。 同様に考えると,
n進法で表すとa桁となる自然数Nについて,次の不等式が成り立つ。
←n≦N <na+1 ではない!
na-¹≤N<na
(1) 条件から, 210-1≦N < 210 が成り立つ。
別解 場合の数の問題として考える。
(2)条件から 810-1≦N <810 が成り立つ。この不等式から,指数の底が2または16
のものを導く。8=2,16=24に着目し,指数法則a"+"=a"a", (am)" =q"" を利用
して変形する。
CHART
n進数の桁数
n進数Nの桁数の問題
まず,不等式 n桁数 - 1
また②から
ゆえに
-¹≤N<n
(1) Nは2進法で表すと10桁となる自然数であるから
210-1N 210 すなわち 2°≦N <210
桁数の形に表す
この不等式を満たす自然数Nの個数は
210−2°=2°(2−1)=2°=512 (個)
別解 2進法で表すと, 10桁となる数は,
1000
(2)
の□に0または1を入れた数であるから, この場合の
数を考えて 2°=512 (個)
(2)Nは8進法で表すと10桁となる自然数であるから
810-1≦N < 810 すなわち 8°≦N <810 ...... ①
①から
(2³) ≤N<(2³) ¹0
すなわち
227 ≤N<230
②
したがって, N を2進法で表すと, 28 桁, 29桁, 30 桁
の数となる。
At
(24)6•2³ ≤N< (24)7-2²
<4•16
16°N
16°<8・16, 4・167 < 16°であるから 16°N < 16°
したがって, Nを16進法で表すと, 7桁,8桁の数と
なる｡
210 ≦N < 210+1 は誤り!
2°≦N≦2−1 と考えて
(2−1) -2°+1として
求めてもよい。
<重複順列。
<227 ≦N <228 から28桁
228 ≦N < 229 から29桁
229 ≦N < 230 から30桁
16° <N < 167から7桁
16' N < 16°から8桁
