Question

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二項定理の証明ですが、m+1の時の和となるように、kをk-1に置き換えたとありますが、どうしてこのような作業が必要なのでしょうか。

証明 (【発展】 数学的帰納法で証明する)
(i)n=1のとき
(£)=(a+b)¹=a+b. (ħ₁)=₁C₁a¹+₁C₁b²=a+b £), (*) (±£Ï.
(ii)n=m(m = 1, 2, 3, ...) のとき, (*)が成立すると仮定すると,
(a+b)=C₁a" +C₁a ¹b+C₂a²b²+ + Crab+...+mCm-1ab"-1+mCm b
m-2,2
m
m
このとき
左のΣの
m
=Σm Cram-k₂k.
k=0
(a+b)+¹=(a+b)(a+b)m
= (a + b) Σmka™-kzk
k=0
=aZmСkam-k₂k+bm C ₁ am - k z k
= Σ(mCkam-k+¹fk) + Σ(mCkam-kzk+¹)
k=0
k=0
k=0
m
m-1
m
m
m
=
m+1
= Σ(mСkam +¹-kzk) + Σ (mCk-1am+¹-kzk)
m+1+1-k-k
=
k=0
k=1
k=1,2,...,m+1のと
きの和となるように
をk-1 に置き換えた。
KESKU
m
TEIS,
=mCoa™+¹+Σ(mC₁a™+¹-kfk) + (mCk-₁am+¹ − kqk) + mСmbm +
-1
k=10 (5+8+1
k=0
m
m
m
k=0&=mCoam+¹+{(mCk+mCk_1) am +¹-kzk} + mСmbm + ¹) =
73 ページ参照
m+1
k=1 mm
+ m +1 C² m+ 1-k z k
k
m
=m+1Coa" + Σ(m + 1Сkam+¹-kyk) +m+1Cm+1b″
m+1
+¹
k=1 min
m
k=0, 1, ...
の和を
+p+q) ¹²d³p &
137
82
よって, n=m+1 のときも成立.
以上, (i),(ii) より, すべての自然数nにおいて, (*)は成立.
CNS-02
mのとき
As y
=m+1C₁am+¹1+m+1C₁amb+m+1C₂am-¹b²+...+m+1Cmabm +m+1Cm+1bm+1.
右の】の
k=m+1
のとき

数2 式と証明 二項定理

Answer 1

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通りすがり@300BA獲得

なかなか初見では難しい証明ですね。。
(a+b)^m+1を展開するので、a^m+1とb^m+1を出すことを考えます。（←式変形の最後の方で、またシグマに入る変形をしていますね。）
写真のように変形すると、真ん中の2項が整理できそうですね。これを見越して、あらかじめkをk-1に置き換えています。

、

ありがとうございます😭
ゴールを見据えて示していくタイプですね😵‍💫難しいです😢