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大学入試レベルですがいいんでしょうか…
(1)
分子と分母それぞれについて、規則性を見つける。
a(1)の分子：3、a(2)の分子：4、a(3)の分子：5、… ⇒ a(n)の分子：n+2
a(1)の分母：1×2×2^1、a(2)の分母：2×3×2^2)、a(3)の分母：3×4×2^3、… ⇒ a(n)の分母：n×(n+1)×2^n
よって、a(n)＝(n+2)/n(n+1)2^n
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(2)
(1)より、2^n･a(n)＝(n+2)/n(n+1)
2^n･a(n)＝b/n + c/(n+1)より、b/n + c/(n+1)＝(n+2)/n(n+1)
分母を払うため、両辺にn(n+1)を掛ける。
b(n+1)+cn＝n+2
bn+cn+b＝n+2
(b+c)n+b＝n+2
これはnについての恒等式なので、係数同士が等しい。
b+c＝1、b＝2
よって、b＝2、c＝-1
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(3)
(2)より、2^n･a(n)＝2/n - 1/(n+1)
両辺を2^nで割ると、
a(n)＝2/n･2^n - 1/(n+1)2^n＝1/n･2^(n-1) - 1/(n+1)2^n
ここで、b(n)＝1/n･2^(n-1)とおくと、b(n+1)＝1/(n+1)2^nと表せるので、a(n)＝b(n)-b(n+1)
S(n)＝a(1)+a(2)+…+a(n-1)+a(n)
＝{b(1)-b(2)} + {b(2)-b(3)} + … + {b(n-1)-b(n)} + {b(n)-b(n+1)}＝b(1)-b(n+1)
b(1)＝1/1･2^(1-1)＝1
よって、S(n)＝1-1/(n+1)2^n
n→∞のとき、(n+1)2^n→∞だから、1/(n+1)2^n→0
よって、lim(n→∞)S(n)＝1
ありがとうございます！
理解できました！！