8.
α1=0, an+1= 4
0≦am <1が成り立つことを 数学的帰納法で示せ .
が成り立つことを示せ .
19 はさみうちの原理
an² +3
(2) 1-an+1<- 2
(3) liman を求めよ.
1-an
(1) により,
(n=1,2,………) で定義される数列{an}について
解けない2項間漸化式と極限 簡単には一般項を求めることができない2項間の漸化式
an+1= f(an) で定まる数列の極限値を求める定石として, 以下の方法がある.
1° 4m の極限が存在して, その値がαならば, liman = α, lim an+1=α であるから, αはα = f(α) を
満たす. これからαの値を予想する.
22-00
12-00
2°与えられた漸化式 an+1= f(an) と α = f(α) の辺々を引くと, an+1- α = f (am) - f (α) となる
が,これから, |an+1-α|≦k|an-al, kは 0≦k<1である定数
の形の不等式を導く.すると,|an-a|≦klan-1-a|≦k2|an-2-α|≦….≦kn-1|α1-α|
· 0≤|an-a|≤k"−¹|a₁-a|
解答量
(1) n に関する数学的帰納法で示す. n=1のときは成立する.
n=kでの成立, つまり 0≦x<1が成り立つとすると, ak+1 について,
0²+3
12+3
·≤Ak+1 <-
0≦ak+1 <1
4
4
よってn=k+1のときも成立するから,数学的帰納法により示された.
2+3
an
1-a₂²
(2) 漸化式から, 1-an+1=1--
1+ an
4
4
4
1+an 1+1
4
1
2n-1
limk"-1|41-α|=0であるから, はさみうちの原理により, an-α|→0
12-00
(なお、要点の整理・例題 (8) から,☆のkは定数でないと, an →αとは結論できない)
0≤1-an<(1-an-
4 2
1-an+1</(1-an)
(3) 1-a>0と, ① を繰り返し用いることにより,
1
22-1
1->0であるから,
1½ (1-an-1) < -½ 2₂ (1-ªn-2) < ···<;
(1-
→0 より はさみうちの原理から lim (1-an)=0
n-00
9 演習題 ( 解答は p.27 )
1
4-a,2²
In. (1-an)
-(1-a₁)=
..
1
2n-1
liman=1
818
(岡山県大情報工-中)
‥. an→a (n→∞)
(n=1, 2, ...) をみたす.
0≦x<1のとき,02≦ak2/12
漸化式を用いて1-Qn+1 を an で
表す.
本問の場合, 求める極限値を α
として, 1° を使うと、
a²+3
4
からαの値が予想できる.
数列 an (n=1, 2, …) は, α=0, an+1=
(1) すべての自然数nに対し, 0≦a < 1 が成り立つことを示せ .
(2) 3次方程式-4x+1=0は0<x<1においてただ一つの解αをもつことを示せ。
(3) (2)のαに対し lau-al≤8\a-a! (n=1 ? …) tini hii.
a=
∴. α=1,3
(1
(2
(E
