Question

三角チョコパイ

二次関数の最大最小の場合分けについてです。
なぜ、このように場合分けできるのか理解できませんm(_ _)m
また、aの定義域の考え方も教えてください。

CH
HART
OLUTION
定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小
軸と定義域の位置関係で場合分け・・・・・・[]
定義域が 0≦x≦a で
あるから 文字αの値
が増加すると定義域の
右端が動いて,xの変
域が広がっていく。し
たがって、αの値によ
[1] 軸が定義域の
中央より右
+軸
最大
定義域
の中央
軸
区間の
区間の
V=V=U
右端が
右端が
働く
動く
x=0x=a
[4]
軸が定義域
の外
って、最大値と最小値をとるxの値が変わるので場合分けが必要となる。
(1) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、軸からの距離が遠いほど
yの値は大きい (p.100 INFORMATION 参照)。したがって, 定義域
0≦x≦a の両端から軸までの距離が等しくなる (軸が定義域の中央に一致する)
ようなαの値が場合分けの境目となる。
{21 軸が定義域の
中央に一致
最大
x=0
最小
定義域の両
端から軸ま
での距離が
等しいとき
最大
定義域
の中央
x=a
15}
軸が定義域
の内
x=0
[3] 軸が定義域の
中央より左
輪
(2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから、軸が定義 xa に含
まれていれば頂点で最小となる。したがって,軸が定義域 0≦x≦a に含まれ
るか含まれないかで場合分けをする。
最小
X=6
最大
定義域
中央

(1)定義域 (xsaの中央の値は 1/2である。
[1] 0</12 すなわち0<a<4のとき、
図 [1] から,x=0 で最大となる。
最大値は f(0)=5
[2] 1/12 すなわちa=4のとき
図[2] から,x=0, 4 で最大となる。
最大値は f(0)=f(4)=5
[3] 2</1/27 すなわち 4kg のとき
図 [3] から, x=α で最大となる。
最大値は f(a)=a²-4a+5
[1]~[3] から
0<a<4 のとき x=0 で最大値5
α=4 のとき x = 0, 4 で最大値 5
a>4のとき
x=α で最大値 α²~4α+5
図[4] から, x=q で最小となる。
最小値は f(a)=a²-4a+5
[5] 2 のとき
図[5]から, x=2で最小となる。
最小値は (2) = 1
[4], [5] から
0<a<2のとき
で最小値α²4a+5
42 のとき x=2で最小値1
{2)
[5]
最大
最大
[3]
x=0
軸
20
(2) 軸 x2 が定義域 0≦x≦a に含まれるかどうかを考える。
月 [4] 0<a<2のとき
(4)
X-0
最大
U
最大
x=d
-x=d
最小
[13軸が定義域の中央x=12/23
より右にあるから,x=0
の方が軸より遠い。
よって S(0)>f(α)
[23軸が定義域の中央x = 103
に一致するから、 軸と
x=0,α(=4)との距離が
等しい。
よって (0)=f(a)
最大値をとるxの値が
2つあるので, その2つ
の値を答える。
[3]軸が定義域の中央x=12/27
より左にあるから, x=a
の方が軸より遠い。
よって f(0) <f(a)
最後は, 答えをまとめて
書くようにする。
[4]軸が定義域の右外にあ
るから、軸に近い定義域
の右端で最小となる。
[5]軸が定義域内にあるか
ら頂点で最小となる。
最後は, 答えをまとめて
書くようにする。