Mathematics
มัธยมปลาย
数学的帰納法を用いる問題です
n=k+1にした時両辺の差を考えるところでいつもつまずきます。
つまずいた問題の例は下の通りです。
回答を読んでも分かりません。
どなたか詳しく教えていただけると助かります。
93
☑
(n+1) 3
nは自然数とする。 数学的帰納法を用いて,次の不等式を証明せよ。
*(1) 12+2+32+......+n<
3
1
1
1
*(2) 1+ + +
+
<2√m
/2
/3
√n
(3) √1・2 +√2・3 + ...... +√n (n+1) <
(n+1)2
2
93 証明すべき不等式を (A) とする。
(1) [1] n=1のとき
左辺 =1=1,右辺 = (1+1=252
8
3
3
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2] n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
12 +22 +32 +....+k<
(k+1)3
3
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの (A) の両辺の差を考えると
(k+2)3
....
- {12+22 + ...... +k2+(k+1)2}
3
(k+2)3
(k+1)3
--(k+1)2
3
3
| 3k2+9k+7
-(k2+2k+1)
3
= k + 3 => 0
すなわち
O
12 +22 +.......+k^+ (k+1)<
(k+2)3
3
よって, n=k+1のときも (A) が成り立つ。
[1], [2] から, すべての自然数nについて (A) が
成り立つ。
186
(2) [1]=1のとき
左辺 = 1, 右辺 =2.1=2
よって、n=1のとき。 (A) が成り立つ。
[2]
のとき (A)が成り立つ。 すなわち
1+
+
+ <2√k
/k
が成り立つと仮定する。
+1のときの (A)の両辺の差を考えると
2√k+1
(1+
1
1
+
/k+1
1
v2 √√3
>2√/k+1-2√k
✓k+1
2vk+1)-2/Fvk+1-1
vk+1
(2k+1)-2/+1)(2+1-V)2
->0
k+1
Vk+1
すなわち
1+
+++
1
+
・<2√k+1
√√√k+1
よって, n=1のときも (A) が成り立つ。
[1] [2]から, すべての自然数について (A)が
成り立つ。
(3) [1]=1のとき
[2]
左辺 = √1-2 = √2,右辺 = (1+1)2
=2
2
よって, n=1のとき. (A) が成り立つ。
のとき (A) が成り立つ。 すなわち
V1-2 +√2-3 +.....+√kk+1)
(k+1)
2
が成り立つと仮定する。
n=k+1のときの (A) の両辺の差を考えると
(+2)²)
2
-√√1-2+√√2.3+
-|√1·2 + √2·3 +...
+vkk+1)+√(k+1)k+2))
(+1)k+2)
(k+2) (k+1)
22
(2k+3)-2(k+1)k+2)
2
(√√k+2-√k+1)²
->0
2
すなわち
V1-2 + 2.3 +...
+√(+1(k+2)
(k+2)²
2
よって, "=k+1のときも (A) が成り立つ。
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