Question

ノーマン

座標を利用した証明の問題です

各矢印の条件についての記述の仕方が分かりません。ほかの問題にも対応出来るように何に注目して条件を書いているのか教えて頂きたいです。

また、もう1枚の写真の方は座標を利用した証明(1)なのですが、(2)のような条件は記述されていません。
2つの問題で何が異なるのですが？

座標を利用した証明 (2)
基本 例題 85
△ABCの各辺の垂直二等分線は1点で交わることを証明せよ。
指針p.117 基本例題 72 と同じように, 計算がらくになる工夫をする。
座標の工夫
!
この例題では,各辺の垂直二等分線の方程式を利用するから、各辺の中点の座標に分数が
現れないように、CCC20,0)と設定する。
なお,本問は三角形の外心の存在の, 座標を利用した証明にあたる。
① 座標に 0 を多く含む [2] 対称に点をとる
LAを最大角としても一般性を失わな
い。このとき, ∠B <90° ∠ C <90°
である。
直線BCを軸に、辺BCの垂直二等
分線を軸にとり △ABC の頂点の
を次のようにおく。
A(2a, 26), B(-2c, 0), C(2c, 0)
a+c
=_a-cx-
b
x+
B.
-2c
a²+6²-c²
b
N
y4
ただし a≧0,60,c>0
また,∠B<90°,∠C<90°から, a≠c, a≠-c である。
更に、辺BC, CA,ABの中点をそれぞれL,M,N とする
L(0, 0), M(a+c, b), N(a-c, b)
と、
と表される。
辺ABの垂直二等分線の傾きをとすると, 直線 AB の傾き
b
-=-1より m=-
a+c
a+c
b
atc
であるから,mo
b
よって, 辺ABの垂直二等分線の方程式は
a+c (x−a+c)
y-b=--
b
A(2a, 2b)
a²+6²-c²
①
すなわち
y=-
-x+
b.
辺ACの垂直二等分線の方程式は、①でcの代わりに -c と
おいて
であるから K (0,
K
OL
M
C
2cx
直線 ① ② の交点を K とすると, ①,②のy切片はともに
K(0, a² + b²-c²
a²+ b²-c²
b
点Kは,y 軸すなわち辺BCの垂直二等分線上にあるから,
△ABC の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。
基本72
注意 間違った座標設定
例えば, A(0, 6), B(c, 0),
C-c, 0) では,△ABCは
二等辺三角形で、特別な三角
形しか表さない。
座標を設定するときは, 一般
性を失わないようにしなけ
ればならない。
0-26
-2c-2a
133
2倍しておく
証明に直線の方程式を使用
するから 分母 = 0 となら
ないように,この条件を記
している。
b
atc
3章
13
3 直線の方程式、2直線の関係
点N (a-c, b) を通り,傾
a+c
の直線｡
b
辺ACの垂直二等分線は,
b
傾き
の直線 AC に
a-c
垂直で,点M(a+c, b) を
通るから ① でcの代わ
りに -c とおくと,その方
程式が得られる。

三角
とき,
20
4/14
45
基本例題2 座標を利用した証明(1)
(1) ABCの重心をG とする。 このとき, 等式 △
AB'+BC + CA'=3(GA'+GB2 + GC2) が成り立つことを証明せよ。
△ABCにおいて, 辺BCを1:2に内分する点をDとする。 このとき, 等式
(2)
2AB'+AC'=3AD2 +6BD2 が成り立つことを証明せよ
> 座標を利用すると, 図形の性質が簡単に証明できる場合がある。そのとき
座標軸をどこにとるか､
与えられた図形を座標を用いてどう表すか
がポイントになる。そこで後の計算がらくになるようにするため、問題の点がなるべく
多く座標軸上にくるように
0 が多いようにとる。
(1) は A(3a, 36),B(-c, 0),C(c, 0) とすると、重心の性質からG(a,b)
(2) l A(a, b), B(-c, 0), C(2c, 0)
CHAR 座標の工夫 1 0 を多く
解答
1 (1) 直線BC をx軸に、辺BCの垂直二等分線をy軸にとると,
線分BCの中点は原点 0 になる。 A (34,3b), B(-c,0),
C(c, 0) とすると, Gは重心であるからG(α, b) と表される。
AB2+BC2+CA2
よって
=(-c-3a)+9b²+4c²+(3a-c)2+962
AT=3(6a²+6b²+2c²)
GA2+GB2+GC2
=(3a-a)+(36-b)2+(-c-a)^2+b2+(c-a)² +62
=6a²+662+2c2
......
②2 対称に点をとる
① ② から
AB2+BC2 + CA²=3(GA2+GB2+GC2)
1 (2) 直線BC をx軸に,点 D を通り直線BC に垂直な直線を
y軸にとると, 点Dは原点になり, A(α, b), B(-c, 0),
C(2c, 0) と表すことができる。
よって
2AB2+AC2=2{(-c-a)^+(-b)"}+(2c-a)+(-b)^
=2(c2+2ca+α²+62)+4c²-4ca+a+b2
=3a²+362+6c²
3AD2+6BD²=3(a²+62) +6c²
① ② から
基本 71
2AB' + AC2=3AD2+6BD2
B
(-c, 0)
0
基本85
A(3a, 3b)
YA
G (a,b)
A(a, b)
B/1-
(-c, 0) OD
C
(c, 0) x
117
練習
(1) 長方形 ABCD と同じ平面上の任意の点をPとする。 このとき,等式
証明せよ上。
3章
(2c, 0) x
12
11 直線上の点、平面上の点