Question

ゆー美

証明の最後の方にある、「一般に、」からが理解できません。詳しく教えていただきたいです。

例2 z=g(y)=siny, y=f(x)=x2 ならば, fg の合成関数は z = sinx.
合成関数の連続性
定理1.2.3
y=f(x)がx=αで連続で, z=g(y) がy=f(a) で連続ならば,合成関
数z=g(f(x)) は x =αで連続である.
証明 y=f(x) は x =αで連続であるから
lim f(x)=f(a)
x→a
である.また z=g(y)はy=f(a) で連続であるから
lim_g(y)=g(f(a))
y-f(a)
である.一般に,この極限はy ≠ f (a) なる条件の下でyをf(a)に近づけるの
であるが, g(y)がy=f(a)で連続であり,yがf(a) に近づくのに y=f(a)を
みたしていても成り立っているので
limg (f(x))=g(f(a)).

基礎解析 大学生 数学