Question

ゆー

求める条件がなぜ少なくとも1つの解を持つことになるのかが分からないので教えてほしいです！

0の方程式2cos'0+2ksin0+k-5=0 を満たす@があるような定数kの値の範
224
は定数とで
えよ。 ただ
w この方
重要 例題143 三角方程式の解の存在条件
a
囲を求めよ。
[同志社大)
基本 140
指針> まず,1種類の三角関数で表す
この方
計> cos 0-
前ペー
の
(1-x°)+ax-2a-1=0 すなわち x-ax+2a=0 ……… ①
ことと同じである。次の CHART に従って,考えてみよう。
2次方程式の解と数々の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目
を
辺に後
線yー
,直
解答
cos 0=x とおくと,-1<xS1であり, 方程式は
(1-x)+ax-2a-1=0 すなわち xーax++2a=0… ①
この左辺をf(x)とすると, 求める条件は,方程式f(x)=0 がて整理すると
-1Sx<1の範囲に少なくとも1つの解をもつことである。
これは,放物線y=f(x) とx軸の共有点について, 次の [1] ま
たは [2] または[3] が成り立つことと同じである。
『 [1] 放物線 y=f(x) が -1<x<1の範囲で,x 軸と異なる2る条件を考えてもよい。解営式は
点で交わる。または接する。
このための条件は, ① の判別式をDとすると
D=(-a)?-4-2a=a(a-8)であるから
検討
x?-ax+2a=0をaについ
x°-a(x-2)
よって,放物線y=x° と直線
ソ=a(x-2)の共有点のx座
標が -1<xS1の範囲にあ
「答
0s0=x と
編p.139 を参照。
D20
したがって
a(a-8)20
)=x°+
よって
as0, 8Sa
2
軸x=; について -1<号<1から -2<a<2
求める
グラフと
a
3 o
-1 レ1
2
x
f(-1)=1+3a>0から
央中
f(1)=1+a>0
1
4)
よって,
3
4
|| 関数
求める
から
a>-1
5)
2~6の共通範囲を求めて
1
<as0
3
-1
[2] 放物線 y=f(x) が -1<x<1の範囲で,x 軸とただ1点
で交わり,他の1点はx<-1, 1<xの範囲にある。
このための条件は
Neo
a
1
12)
a
ゆえに(3a+1)(a+1)<0
1
よって -1<a<-
13]
3
の [3] 放物線y=f(x) がx軸とx=-1 またはx=1で交わる。
f(-1)=0 または f(1)=0 から
00
-1
1
または a=-1
a=ー
3
-1SaS0
れる
[1], [2], [3] を合わせて
参 [2] と [3] をまとめて, f(-1)f(1)<0としてもよい。
練習
143 囲を求めよ。
の
1441
ア ー 回

Answer 1

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るる

この場合cosθの範囲は−1から＋1です
また題意は方程式を満たすθが"ある"なのでその範囲に少なくとも一つあればいいとなります
どの問題でも答えが"ある"と書いてあって細かい数が記載されていなければ、少なくとも一つはあればいいという解釈になります

ゆー

なるほど！ありがとうございます