Question

結城カノン

「0≦θ≦πのときcos2θ+sin2θ+1＞0を解け」という問題で
cos2θ+sin2θ＝√2sin（2θ+π/4）より
sin（2θ+π/4 ）＞-1/ √2
したがって
0<2θ+π/4 <5π/4
整理して-π/8<θ<π/2
0≦θ≦πより0≦θ<π/2
これと、7π/ 4<2θ+π/4 <2π
整理して3π/4<θ<7π/8これは0≦θ≦πを満たす

このように解いたのですが2つ目の範囲が解答には3π/4<θ≦πとなっていました。右がπになる理由がよくわかりません。

三角関数

Answer 1

みと

●0≦θ≦πの条件を使う順序がずれてしまったような気がします

　以下の②の部分です

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「0≦θ≦πのとき，cos{2θ}＋sin{2θ}＋1＞0 を解け」

●与えられた不等式から

　cos[2θ]＋sin[2θ]＋1＞0

　 √2･sin[2θ＋(π/4)]＞－1

　　　 sin[2θ＋(π/4)]＞－(1/√2)　･･･　①

●与えられたθの範囲から

　不等式を解くために必要な範囲を考えると

　　　 0≦θ≦π

　　　 0≦2θ≦2π

　(π/4)≦2θ＋(π/4)≦(9/4)π　･･･　②

●②の範囲で①を考えると

(ⅰ) (1/4)π≦2θ＋(π/4)＜(5/4)π　のとき

　　　　　　0≦2θ＜π

　　　　　　0≦θ＜π/2

(ⅱ) (7/4)π＜2θ＋(π/4)≦(9/4)π　のとき

　　　(3/2)π＜2θ≦2π

　　　(3/4)π＜θ≦π

●まとめて

　　0≦θ＜π/2，(3/4)π＜θ≦π

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Answer 2

vers

不等号を考える前に、2θ+π/4の範囲を考えた方がいいと思います。
そしてから当てはまるθの範囲を考えると間違えなくなると思います。
今回の場合、2θ+π/4≦9π/4でありこの範囲も解に入ることを見逃したんだと思います。