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例えば3桁の数について考えてみます。
たくさんありますが、255や953などは3桁ですね。
もう少し突き詰めて考えると、3桁の数は100~999までの数だということがわかります。
これを式で表すと、
Nが3桁の数のとき、
100≦N≦999
ここで、N≦999と書きましたが、Nは整数なので
N＜1000と書いても同じことです。999よりも1000の方が扱いやすいので、書き直すと、
100≦N＜1000
10²≦N＜10³
では5桁の数だとどうでしょう。
10000≦N≦99999
10000≦N＜100000
10⁴≦N＜10⁵
一般に、Nがn桁の数のとき
10ⁿ⁻¹≦N＜10ⁿ
となります。ところで、左右ともに底が10の指数なので、10の対数をとってやると、もっと簡単な式になりそうですね。
log₁₀10ⁿ⁻¹≦log₁₀N＜log₁₀10ⁿ
n-1≦log₁₀N＜n
これは例えば3桁のときだと、
2≦log₁₀N＜3
5桁だったら、
4≦log₁₀N＜5
となります。
何桁か直接調べるのは大変ですが、対数をとったらどの整数の間にあるかを計算するのは比較的簡単です。ということで、底10の対数をとることで、何桁か調べます。
log₁₀5²⁰
=20×log₁₀5
=20×0.6990
=13.98
13≦13.98＜14
すなわち
13≦log₁₀5²⁰＜14
log₁₀10¹³≦log₁₀5²⁰＜log₁₀10¹⁴
底10は1より大きいからlogを外しても不等号の向きは変わらず、
10¹³≦5²⁰＜10¹⁴
10000000000000≦5²⁰＜10000000000000
よって、答えは14桁。
(2)もほぼ同様。
たとえば小数第3位に初めて0でない数字が現れるとき、
0.001≦N≦0.009
0.001≦N＜0.01
10⁻³≦N＜10⁻²
-3≦log₁₀N＜-2
これもまた対数をとって考えればいいということがわかる。
[2](1)と同様。
10²≦1.6ᵡ＜10³
log₁₀10²≦log₁₀1.6ᵡ＜log₁₀10³
2≦xlog₁₀1.6＜3
以下略。
ヒント: 1.6を2と10使って表せばlog₁₀1.6は計算できる。
ありがとうございます！