Question

朝焼けの花

4STEP数I+A75ページの305の解説で三角錐P-ABCの図があってPHが示されているのですが、点Hは三角形ABCに接しているのですか？
最後体積を求めるのにV=1/3S・PH（S=三角形ABCの面積）となっていてPHは三角錐P-ABCの高さであるから三角形ABCに接していないとおかしいと思うのですが、解説の図ではHが三角錐P-ABCの内部にあってどの面にも接しておらず三角形ABCに届いていないかのように書かれています。
三角形ABCの外接円の中心になるならば解説の書き方でいいと思いますが、それならば最後体積を求めるときに高さはPHより長くなるのでV=1/3S・PHという式は成り立たないと思います。
Hが外接円の中心なのに、なぜPHが三角錐P-ABCの高さだということができるのですか？

306 (1) 正四面体 ABCD の頂点Aから底面
74
4STEP数学I
305 △ABC において余
弦定理を適用すると
22+4°-32 A
解答編
*2.2=2
75
3
V3
V3
303 (1) △OBC=-
3
BH=-
2sin 60°
5°+6°-7?_1
COSC=
V5
P
COSA:
よって
って V=ニA0BC-0A=-2-2-
2.2.4
2-5-6
5
AH=VAB°-BH° =DV3°- (V3)2
= V6
よ。
sin C>0 であるから
(2) △OABにおいて, 0A=OB=2,
ZAOB=90°であるから AB=2V2
11
V5
2
ゆえに
sinC=,- -
16
また,△BCD の面積Sは
9/3
=3:3sin60° :
_ 2,6
5
sin A>0 であるから
B
同様に
BC=CA=2/2
3
s-
S=-5-6.2/6
5
よって
11 \2
1
よって, △ABCは1辺の長さが2/2 の正三角
形であるから
sin A =
=6、/6
16
よって,正四面体 ABCD の体積は
9、2
315
ゆえに, 9r=6、6 から
2/6
ア=ー
S=-22-2/2sin 60"=2、/3
1、9V3
4
-xV6.
4
16
3
よって, △ABCの面積を Sとすると
よって S,=4r(2=等
32
ここで,四面体 ABCD
は,4つの四面体 OABC,
OACD, OABD, OBCD
に分割でき,これらはす
べて合同である。
よって,正四面体
ABCD の体積は 4Vに
等しいから
(3) V=-AABC·OHであるから
T08
3
S=-AB·AC sin A
(2、6
64、/6
33
4
1
Vニ
三
.2/30H
3
27
3V15
-2:416
ストリ
3-3
315
ヘロンの公式を用いると, Sは以下のように
求められる。
参考
ニ
よって 0f-
1
2,3
4
頂点Pから底面 ABCに垂線PH を下ろすと、
APAH, APBH, △PCHはいずれも直角三角
OH:
数料
三
2,3
3
D
5+6+7
=9 とすると
2
B
S=-
304 PH=acos0,
形で
S=\s(s-5Xs-6(s-7) 3DV9.4·3-2%36、/6
(2) 三角柱の表面積を S2, 体積を V。とする。
S2=2S+5-2r+6-2r+7-2r
AH=BH=asin0
PA=PB=PC,
PH は共通
であるから,これらの直角三角形は合同である。
9、2
4V=
4
よって, 求める体積Vは
よって
Fu
V=-x(正方形 ABCD) x PH
AH=BH=CH
9/2
V=-
16
ゆえに,点Hは△ABCの外接円の中心であり,
AH はその半径である。
△ABCに正弦定理を適用すると
したがって
=2-6/6 +(5+6+7)-
46
3
;×(4△ABH)× PH
2 V=-XABCD×rより
= 36/6
3
-=2AH
V;=S-2r=6/6.4vy6
3
·AH·BH PH
9V2
=48
1、9V3
-XY
4
sin A
1
.2(asin 0)?acos@
16
3.3/15
16
AAPH は直角三角形であるから, 三平方の延理
8
ベル
3
AH=
32
(3) S,: Szi
π: 36/6 = 8x : 27/6
3
よって
ニ
V6
ア=
三
2sin A
2
よって
文シ
-co
64、/6
ーπ : 48=8x: 27、/6
27
4
=a'sin'0 cose
別解 PH=acos0, AH=asin@
AABH はZAHB=90° の直角二等辺三角形であ
るから AB=\2AH=\2asin@
よって, 求める体積Vは
したがって, 求める球の表面積は
(4) V,: V2%=
により
S:S;=Vi:Va
Jw-()
セx)-
これと(3)の結果から
よって, 球と三角柱の体積比は球と三角柱の表
面積の比に等しい。
V6 12
3
-π
2
8
2
4元×
4
(V5)?-
V15
ゆえに, 求める体積Vは
PH=
V 15
三
球の体積は
4
-TX
V6 13
Tπ
13V15 V11 _ V11
4
8
BH=PH=50
V=;x(正方形 ABCD) × PH
V=-S-PH=
3
308 APBH において
APAHにおいて, PH: AH=1:V3 であるか
AH=V3 PH=50/3
4
V15
307 球の中心を0 とする。
0を通り,底面に平行な平面
で三角柱を切ると
3
4
1
三ラ×AB°× PH
ら
△ABHにおいて, 余弦定理により
50.50,3 cos 30°
pII
その切り
の
0
数学I
3 1-3
II
3
II
X.

三角比

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

中島

Pから平面ABCに垂線PHを下ろします。PHは三角錐P-ABCの高さになります。
△PAHと△PBHと△PCHで
PA=PB=PC、PH共通、∠PHA=∠PHB=∠PHCより、
3つの三角形は合同で、AH=BH=CHとなります。
3つの頂点からの距離が等しいので、Hは△ABCの外心と解ります。

朝焼けの花

解説の図で点Hが三角形ABCに接していないように見えるのですが、実際は高さになっているわけだから接しているということでいいですか？

中島

平面ABC上にはありますが、△ABCには接してないです。
三角形の高さも、鈍角三角形の鈍角三角形にある頂点以外からの高さは底辺に接しないですよね。

朝焼けの花

点Hが平面ABCにあるのは分かりましたが、解説の図では明らかに点Hは平面ABCにないという感じの図になっているのはどういうことですか？

中島

間違っていたらすみません。
平面ABCと△ABCを混同しているように思います。
平面は無限に広がる面をいい、平面ABCとは３点ABCを通る平面のことです。
なので、△ABCの外部であっても平面ABC上です。