Question

魚見さん

赤線について、
絶対値ω^7＝１から絶対値ω＝1が言える理由と
青線について、
ω〜ω^6 がx^7-1＝０の解になる理由を教えてほしいです。

360°
360°
tisin
7
7
複素数o=cos
-に対して
α=w+w°, B=o?+w?, y=w°+w*
とおく、次の問に答えよ。
(1) oの共役複素数をるで表すとき,而=-を示
の
せ。
(2) α, B, Yは実数であることを示せ。
(3) 等式
z5+ェ5+z*+z+z"+x+1
=(z°-az+1)(z?-βz+1)(z?-yz+1)
が成り立つことを示せ、
(4) α+B+y, aβ+By+ya, aBy の値を求めよ.
(04 信州大(後)·教/弧度法を度数法に変更)

解
(1) '=cos 360° +isin360° より
7=1……D.よって,|0'|=1より
lo|=1 . o2=ww=1 :. 0
1
(2)のより=ーだから,②より,
の
1
α=w+w=w+ー=w+w
の
となり,a は実数.同様に,①, ②より,
1
B=w?+o=w+-
0?
1
-=°+3
w3
ア=w°+w*=w°+-
だから,B, yは実数。
(3) Oより,
(o*)7=(o7)=1(k=1~6)
0は方程式
z7-1=(ェ-1)(+ェ+z'+z°+z?2+z+1)=0
り解だが、o*キ1なので,w, …, w°は方程式
26+z5+z*+z°+z?+z+1=0
の解である.o, …, w° は相異なるので,この左辺は
(ェーo)(ェーo)(zlo°)(x-o*)(zle®)(xlo°)
と因数分解できる.いま, ①より,
(エーo)(ェ-o)=r°-(ω+w®)z+tw?=g°-ax+1,
だから,0,…
(ェーw)(ェーo)=z"ー(ω°+w®)z+w=z?-βr+1,
(ェーo)(ェ-o)=z"ー(6"+w*)z+w?=z"-yz+1.
従って,
26+ェ5+z*+z°+z?+x+1

Answer 1

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aporon

|ω⁷|=1なので、ωを7回かけても大きさが1になるんですね
仮にωが1以外だとすれば、大きくなるか、小さくなるかのどちらかですね。式でかけば、|ω|=aなら|ω⁷|=a⁷になりますね

上の式にある通りです
(ω^k)⁷=(ω⁷)^k=1です
つまり、k=1~6までの数はx⁷-1=0の解ですね

魚見さん

回答ありがとうございます！

ごめんなさい。
なぜ、(ω^k)⁷=(ω⁷)^k=1 といえるのですか？

aporon

(a²)³=a⁶=(a³)²ですね