Mathematics
มัธยมปลาย
帰納法の問題です。
[2]で、11の倍数にするために11(〜)の形を作るのは分かるのですが、その時の辻褄合わせ(?)のやり方がわかりません。教えてください
3 nが自然数のとき,26m-5+32は11 で割り切れることを示せ。
証明
数学的帰納法で証明する。
「26ォ-5+32 は11 で割り切れる」を①とする。
[1] n=1のとき
26-1-5+ 32-1=2+9=11
よって,①はn=1のとき成り立つ。
[2] n=k のとき①が成り立つ,すなわち 2%-5+32k が11 で割り切れると仮定すると,
mを整数として 26k-5+32k=11m とおける。
n=k+1のときを考えると
26k+1)-5+ 32*+1)-26k-5+6+324+2=64-26k-5+9.324
=64(11m-34)+9-32* = 64-11m-55-324
= 11(64m-5-324)
64m-5-32* は整数であるから,26k+1)-5+ 324+1) は11で割り切れ,n=k+1
のときにも①は成り立つ。
[1], [2] より,Oはすべての自然数nについて成り立つ。
別解(合同式を利用)
整数p, qについて,pーqが11で割り切れるとき,p=q (mod 11) と表す。
64-9=11-5 より,64=9 (mod 11)であるから,自然数 n に対して
26m-5+32=26(n-1)+1+32 =2.(2°)"-1 +(33)" =2.64"-!+9"
=2.9"-1+9"= 11.9"-1=0
(mod 11)
したがって, n が自然数のとき,26m -5+32 は11 で割り切れる。
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