Question

コリン

例題9) 赤丸のところが分かりません。青線より前はそのままで、青線より後ろは10^6でまとめるのはどうしてなんですか？

重要例題 9 =項定理の利用
(1) 101100 の下位5桁を求めよ。
(2) 2945 を 900で割った余りを求めよ。
CHARTO
(1),(2) ともに,まともに計算するのは大変。
次のように変形して, 二項定理を利用する。
(1) 10100=(100+1)100_(1+10°) 10
(1) 各項に含まれる 10" に着目し, 下位5桁に関係する箇所のみを考える。
(2) 30°=900 であるから 30" を作り出す。
SOLUTION
(2) 2915=(30-1)5=(11+30)5
解答
(1) 10100=(100+1)100- (1+10°)10
=1+100C1·10°+100C2·10*+100C3*10°+100C410°+ …
=1+100C」·10°+100C2·10*+10°(100C3+ 100C4·10°+.
ここで,a=100C3+ 100 C4·10°+……+10194 とおくとaは自然数で
101100=1+10000+49500000+10°a
=10001+49500000+10°a
=10001+10°(495+10a)
+10200
…+10'94)
10°(495+10a)の下位5桁はすべて0 である。
よって,101100の下位5桁は
10001
(2) 2915=(30-1)45=(-1+30)45円
=(-1)5+sC.(-1)4.30+asCa(-1)3.30°+««Ca(-1)2.30°
+……+4sCa(-1).304+3045
第3項以降の項はすべて 30°=900 で割り切れる。
また,(-1)5=-1, (-1)4=1 であるから
-1+45·1·30=1349=900·1+449
よって, 2945 を 900 で割った余りは
合第1項と第2項の和は
900 より大きい。
449
(INFORMATION
上と同じ考え方で, 複雑な計算を暗算で行うことができる。 例えば, 999は
999-=(1000-1)?=1000000-2000+1=998001, 4989×5011 は
4989× 5011=(5000-11)×(5000+11)=5000°-11°=25000000-121=D24999879 と計算
できる。

Answer 1

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aporon

10⁶をかけると、下5桁は必ず0になりませんか？

コリン

なります。
10^5でまとめるのはダメなのですか、、？

aporon

10⁵でもいいですが、10⁵の項がないので無理して考える必要がないかと

コリン

そうなんですね。ありがとうございました！