Question

世阿弥

(3)がわからないです。
チャートの問題と同じようにとこうと思ったのですが、応用出来なかったです。
教えてください🙇‍♀️

§2 整数·整式·集合と論理 5
13. (★★☆/25分)
(1) 方程式 65x+31y=1 の整数解をすべて求めよ。
(2) 65x+31y=2016 を満たす正の整数の組 (x, y)を求めよ.
(3) 2016 以上の整数 mは, 正の整数x, yを用いて m=65x+31yと表せることを
示せ、
(福井大)

よって, xが5以上の3で割って2余る数 (x35, 8, 11,
重要 例題 130
ax+by の形で表される整数
①○○○0
どのような負でない2つの整数 mとnを用いてもx=3m+5n とは表すことが
できない正の整数xをすべて求めよ。
【大阪大)
基本 117, 重要120
針>0 整数の問題 いくつかの値で小手調べ (実験)
3m+5nの係数 3, 5のうち, 小さい方の3に注目。 n=0, 1, 2を代入してみて, xがどの
ような形の式になるかを調べてみる。
→xを3で割った余りで分類されることが見えてくる。
解答
(m>0, n>0は誤り。 「負
でない」であるから, 0で
あってもよい。
m20, n20
n, n は負でない整数であるから
1] n=0 とすると
よって, xが3の倍数 (x=3, 6, 9, …) のときは,
x=3m+5nの形に表すことができる。
12] n=1とすると
x=3m
4x=3(m+2)-1としても
x=3m+5=3(m+1)+2
よい。
x23-1+2=5
ここで, m20 より m+121であるから
よって, xが5以上の3で割って2余る数 (x=5, 8, 11,
…)のときは、 x=3m+5nの形に表すことができる。
4x=3(m+4)-2としても

24
A問題
65k+21>0
) k=\
であるから, 求める正の整数の組 (x, y) は
(x, y)= (21, 21)
このx,リが正Eの数であるためのんについ-
を
(参考)
65x+31y=2016 の特解を ①D×2016 より
65.(-20160)+31·42336=2016
が
と求め,これを用いて方程式を変形してもよい。
仮
(3) ①×mより
あ
65(-10m)+31· 21m=m
65x+31y=m …… (*) を②との差をとって変形すると
65(x+10m)+31(y-21m)=0
. 65(x+10m)=31(21m-y)
て
(1), (2) と同様に考えると(*) を満たす整数x, yは
x=31k-10m
ly=-65k+21m
(k=0, ±1, ±2, …)
このx, yが正の数であるためのkについての条件は
31k-10m>0
ー65k+21m>0
21m
10m
くk<-
31
65
ここで
21m
10m
2016
m
>1
2015
65
31
65·31
であるから,③を満たす整数kは少なくとも1つ存在する.
ゆえに, (*) を満たす正の整数x, yが存在する.
(証明終)
参考
本間を一般化した
互いに素な自然数a, bに対して, abより大きい整数mは, 正の整奴.
を用いて m=ax+byと表せる
が示せる。そのために
E

Answer 1

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ブドウくん

(3)の解答のどの辺りがわからないですか？

世阿弥

全部ですチャートと同じような解き方では解けないかどうか知りたいです

ブドウくん

完全に同じにすると、31個の場合分けが生じるので無理ですが、工夫すればいけるかと思います。
kを2016以上の自然数として
k=65x+31y
x=0のときk≡31y≡0(mod31)
x=1のときk≡31y+65≡3(mod31)
x=2のときk=31y+130≡6(mod31)
...
x=10のときk=31y+650≡30(mod31)
(すなわち0から10を満たす整数xは31で割ると3x余る、65x=62x+3xだから)
ということを11~20,21~30に関してもやればいけるんじゃないかと思います。

世阿弥

なるほど！そういう違いがあるんですね！解答のやり方で考えてみます。
ありがとうございます！！助かりました！