Question

ゲストしゅう

1枚目問題で、2枚目回答です。回答のマーカー部分の詳しい説明をお願いしたいです🙇‍♀️

(2) kは -1 ではない実数の定数とする。x+y=kであるとき, x°+y°-3xy+1=0 を満たす実数
x, yがあるようなkの値と, そのときの x, yの値を求めよ。 (15点)

(2) x+y+1=k+1+0より
x*+y+1-3xy =0 (x+y+1)(x? +y?-xy-x-y+1) 3 0
→x?+ y? - xy -x-y+1=0 …(9)
()の左辺を変形する:
x?+y?- xy -x-y+1= (x+y)?- (x+y)+1-3xy
=k?-k+1-3xy.
ゆえに()は次に同値:
3xy = k?-k+1.
さて、
()を満たすx,yERが存在する。
→2次方程式α? - (x+y)a+xy=D0 が実数解を持つ。
=2次方程式 3a? - 3ka+ (k?-k+1) = 0 … (0) が実数解を持つ。 ("*)
2次方程式(O)の判別式をDとする。
D= 9k? -4-3(k? -k+1)3D-3(k-2)?
kキ-1かつD20となればよい。
D20→k=2(#-1).
ゆえにk= 2だけが条件を満たす。このとき方程式(O)は
a? - 2a +1= 0ta=1(重解)
以上よりk-2. またそのときの解の値はx-y-1.

Answer 1

stk

「さて、」のところから、1度頭を切り替えてください。
♡はxとyを使った複雑な二次関数です。
ですが、この二次関数を満たすxとyは存在するとのこと。では、そもそもxとyが答えとなる二次関数はどのようなものか。

aを使って考えると
(a-x)(a-y)＝0　　ですよね。
これを展開してみると、蛍光マーカーを引かれたところになります。

ここからは、問題文にある(x+y)＝kと、「さて、」のところまでで計算した3xy＝　の式を、xy＝　に変形して代入します。

stk

二次関数ではなく、2次方程式ですね。すみません。