Question

ゆら

数学に関する質問です。
波線を引いた部分にどうしてなるのか分かりません。
どなたか、良ければプロセスを教えていただけませんか？

例題 73
条件なし2変数関数
実数x, yについて, z=x°-2xy+2y?-4x+2y+8 の最小値と,その
ときのx,yの値を求めよ。
考え方 次のような順で解く.
0 x, yは互いに関係なく変化するので, まずxの2次式とみて与えられた式を
a(x-■)+A の形に変形する。
2 残った▲の部分(yの2次式)も6(y-口)+△ の形に変形する.
3 a(x-■)+6(y-ロ)*+△ (a>0, b>0, △は定数)は(x-■)と0, (yーロ)20
であるから,xー■=y-ロ=0 のとき最小値△をとることを利用する。
y+2=A とおくと、
(x?-2Ax+A°-A)
+2y°+2y+8
=(x-A)?-A°
+2y°+2y+8
y-2y+4 も平方完成
する。
解答 z=x-2xy+2y°-4x+2y+8
=x-2(y+2)x+2y?+2y+8
=(x*-2(以は2)x+(t2)-(y+2} +2y?+2y+8
={x-(y+2)}?-(y+2)*+2y°+2y+8
={x-(y+2)}+y-2y+4
=(x-y-2)+(y-1)°+3
ここで,(x-y-2)°20, (y-1)?20 より,
ス=(x-y-2)?+(y-1)?+323
となるから,xーyー2=0, y-1=0 のとき,最小値3を
とる。
よって,求める最小値は, 3(x=3, y=1 のとき)
aが実数のとき,
a20 であり,等号が
成り立つのは a=0 の
ときである。
xーyー2=0, y-1=C
より,y=1, x=3

Answer 1

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HS

単なる平方完成のプロセスです。
x²+6x
= x²+6x+9-9
= (x+3)²-9
と同じ。この足して引く行は特にいりません。

ゆら

わああ…文字式になると途端にできなかったのですね…💦
すみません。ご丁寧に教えてくださりありがとうございます！