Question

ます

解説の下線の直前の赤色の式が何故このような領域を取るのかがわかりません。

0, ②とも左辺, 右辺は0以上であるから, それぞれ 両辺を平方 した式と同値である。
重要 例題28 不等式を満たす点の存在範囲 (2)
複素数えが1z-1|slz-4|<2|z-1|を満たすとき, 点zが動く範囲をま
面上に図示せよ。
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基本22
lz-1|<|z-4|
112-452|z-1|
の
である。
の
指針> |z-1|<|z-4|<2|z-1| →
平方した不等式を整理する方針で進める。
また,別解のように, z=x+yi (x, yは実数)として, x, yの不等式の表す領域として
考えてもよい。
数学IIで学んだ知識で解決できる。
解答
(a20, b20のとき
asb→a<6°
|z-1|s|z-4|S2|z-1|から
|z-1fs|z-4<2"|z-1f
(z-1)(-1)S(z-4)(z-4)
のz-1fs|2-4Pから
- 5
2
る+z
整理すると
z+zS5
ata
2
はzの実部。
ゆえに
2
これは点
5
を通り,実軸に垂直な直線とその左側の部分を表
検討
については, P(z), A(1),
B(4)とすると AP<BP
|z-1|<|z-4
す。
のまた, |z-4P<4|z-1°から (z-4)(z-4)<4(z-1)(ミ-1)|よって, 点Pは2点A,Bを
整理すると 22w4 すなわち |2ド>2°
結ぶ線分の垂直二等分線およ
びその左側の部分にある。
したがって
|2|22
これは原点を中心とする半径2の円とそ
の外部の領域を表す。
以上から,点zの動く範囲は 右図の斜
線部分 のようになる。
ただし,境界線を含む。
別解 z=x+yi (x, yは実数)とすると、
|2-1fslz-4fs21|z-1fから
(x-1}+y°s(x-4}+y's4(x-1)'+y°}
(x-1)°+y°s(x-4)+y?から
x
0
P(z)
の
0| A(1) B(4)
X
z-1=x-1+yi,
2-4=x-4+yi
(x-4)+ys4(x-1)°+v?\ か
5
xS
2
よって
占
5_2
5_2
C

複素数平面 数学