Question

てすら

偏微分方程式の解答を教えてください。

IV. 2変数 c, tの関数 u =
:u{a, t) は次の偏微分方程式を満たす。
Ou
Ou
+ 2u
Ot
0g2
(1) 2,t の関数ゆ= {a, t) によりu= - log とおくと,(B) はゅについての偏微分方
程式品() = 0 に変換される。ここでP=
は定数である。a1, a2, ag の値を求めよ。
+a1+a2 +a3
t
であり,a1, a2, a3
(2) cを定数とし、前問 (1) の a1, 02, as の値のとき,ゆについての線形偏微分方程式P=cy
の解でも=0 における初期条件(e, 0) = e-2» + e-3zを満たすものを求めよ。
(3) 前問(2) の(z, t) に対応する(B) の解 u(z, t) を求めよ。

偏微分方程式 数学 物理

Answer 1

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Crystal Clear

(1)が大変ですね。
u=-1/Ψ ∂xΨ
を何度か微分します。
この際に分数とみて商の微分を使うと、式が複雑になるので、1/Ψと∂xΨの積とみて積の微分を使って計算します。
(B)に代入して
(∂xP)Ψ-P(∂xΨ)の形に変形して、Ψが求まります。

(2)よくある置き換えで、熱方程式(拡散方程式)になります。

てすら

早合点をしてBAにしてしまいました💦
Bに代入するのはこれらで大丈夫でしょうか？

Crystal Clear

はい。あってます。

てすら

(1)はa1=a2=0, a3=1 になりますか？

Crystal Clear

0,0,-1じゃないですかね？

てすら

-1でした。ご指摘ありがとうございます。
(2)は変数分離でチャレンジしてみます。

てすら

(2)を変数分離で解いてみましたが詰まりました。ヒントをご教授願えないでしょうか。

Crystal Clear

まずこの方程式は線形だから、Ψ1とΨ2が解ならば、Ψ1+Ψ2も解。
Ψ1,Ψ2が共に変数分離だとすると、Ψ1+Ψ2は変数分離の形ではない。
つまりいくつかの変数分離の解の重ね合わせで、変数分離でないより一般的な解も探索できる。

Crystal Clear

それとcは問題で与えられた定数で、積分定数でないのでちゃんと残す

てすら

(2)どうでしょうか？

Crystal Clear

あってます。
私はフーリエ変換で解きました。
(3)は計算するだけなのでできると思います。

てすら

フーリエ変換でも解いてみます。
ご丁寧にありがとうございました。