Question

倶知安くっちゃん

微分方程式の変数分離型の問題における質問です。
問7.5の2を教えてください。具体的にはどうしてsinx のx＝0で1になると予想したのですが。

める特殊解は
9= 2c - 1
である。
問7.4 次の微分方程式の一般解を求めよ。
e*
(2) =
29
(4) y' = y° sin
(3) 22 + yy' = 0
問7.5 次の微分方程式の一般解を求めよ.また,( )内の初期条件を満たす特殊解を来
(M)=)
めよ。
(9(0) = 2)
(2) y' sin y + cos z = 0
2+1
■変数分離形の微分方程式の応用 ■
ロジスティック曲線
ある容器に入った細菌が増殖していくとき, 時刻tにおける細菌の量をyとす
例題7.3
る。これについて, 次の問いに答えよ。
(1)細菌が増殖する速さが現在の細菌の量に比例するとすれば, このことは微分方
程式を用いて
dy
=ky (kは正の定数)
dt
と表すことができる.この微分方程式の一般解を求めよ。
(2) 細菌が増殖できる量の上限を 1 とする. 細菌が増殖する速さが現在の細菌の
yと,上限と現在の量との差1-yの積に比例するとすれば, このことは微分方
式を用いて
dy
- = ky(1 -y) (kは正の定数)
dt
と表すことができる。 この微分方程式の, 初期条件 y(0)
= - を満たす特殊群
めよ。

156
問·練習問題の解答
2,
3
(1) y=
2
+C, リ=+
3
(2) y=
- + Az + B, y=
1
-2"+ 3c + 2
2
7.3 (1) d
(2) c
(3) b
4
-Y4
7.4 (1) y= 3+Ce-2m
(2) y°= e" +C
2
= C
2
(3) ?+
(4) y=
coS 2 + C
7.5 (1) y= C(x+1), y=2(x+1)
(2) cos y = sin z + C,
COS y = sin r
2
av2g
A
7.6 (1) h=
1
C-
(2) およそ 28.4 秒
7.7 (1) y= Ce"
7.8 (1) y= Ce-43
7.9 (1) y= Ce?" -e-"
(2) y= Ce4z
(3) y= Ce-5a
(2) y= Cc
(3) y= CeCosエ円
(2) y= Ce-" +2?
- 2c +2
7.10 (1) y=?+9
C
C
(2) y=3+
(3) y= sin c+Ccos.c
1+2°
7.11 y= Ce-0.03t,
log 2
0.03
T=
= 23.1
7.12 y= 75e-kt + 15 [°C]
練習問題7
1. (1) y'= Ce- cosm (- cos.a)'= Ce-cosm sin c=ysina
COS エ
(2) y'+ 2ay = {(2。+C)e-"}+2x(2° + C)e_
- 2m(2° +C)e-" + 2z(2° +C)e
1R2
= 2ce
= 2ce
(3) 3"+ 4y = (Acos 2.c + B sin 2z)"+ 4(Acos 2.c + B sin 2 )
N
|Je
-3(Ae + Be-" +e)
= 9Ae*" + Bea + 4e" -6Ae3" +2Be-"
- 4e20
- 3Ae
3x
-3Be-"- 3e
。2c
ミ-3e2
N

4(0)-2お
CC1)
おて=24t1)
2) U sintt co8L-0
Sng dy =-02SCale
- Cosy= -Sme HO
ミー
CoSy- SinCtC
C-/2-1

Answer 1

✨ คำตอบที่ดีที่สุด ✨

哲治

こんな感じ。
一般解に初期条件を代入して、積分定数を決めるだけのお話です。

倶知安くっちゃん

あ！cosのΠ/2ですね。うっかりしてました、、、
ありがとうございました！謎が解けました！