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曲線群の包絡線に関する問題です. (2日前ですが)非常に重要な問題ですから解説しておきます.
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[解法1] 媒介変数を動かして値域を探る[この問題ではxをある値であるとみなします(固定する)].
すべての実数aについてy=x^2+ax+a^2=(a+x/2)^2[aをどのように動かしても≧0ですね]+(3x^2/4)≧3x^2/4が成り立ちます.
したがって求めるべき領域はy<3x^2/4[放物線は上の領域以外を通過できません. ここは論理の問題です.]です.
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[解法2] 解の存在範囲に置き換える.
aに関する2次方程式a^2-xa+(x^2-y)=0[xとyは実数範囲を動きます. したがって実係数の2次方程式とみなせます]が実数解
を持たない[ここが論理の問題です.](x, y)の範囲はD=(-x)^2-4(x^2-y)<0⇔y<3x^2/4. これが放物線の通らない領域です.
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もう少し難しい問題だとaに制限が付きます. この場合は[解法1]だと軸に関して場合分けをします.
[解法2]の場合は(おそらく)以前に学習した解の配置問題とまったく同じになります.
ありがとうございます！
読んでいないかもしれませんが, 他の人のために付け加えます.
[注]
aを中心に考えている理由は"aがすべての実数値"というのが問題の性質を決める条件になっているからです.
抽象度の高い問題では, 問題文をよく読み, どの変数が問題の性質を表すか考えることも大事です.