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この定理を一般的に証明するのは簡単ではありませんか
Aを複素行列で考えると割と平易な証明があります！
自分なりに読んでみましたが、学習が浅く分からない点がいくつかありました。複素数との関連も見えてこなかったです😭
もし良かったら加えて3つ質問するので、答えていただけたら幸いです。(あまりに見当違いな質問なら回答を控えてもらっても構いません🙏)
①(固有多項式を挟む理由が分からないと言いたかったですが意味不明な文になりました…)
自分はA^nの求め方を調べていたらこの定理で行き詰まってしまったので、固有多項式がでて見たことあるなと感じたのですが、それ以上にならないんですよね。というのも、ケーリー･ハミルトンの定理の証明も固有値にAを代入して自明と考えてもいいんじゃないかと思ってしまいました。
②上三角化は対角化のことですか？もしそうなら固有値が重解を持った場合、この定理は成り立ちませんか？
③(ここは特に語句がわからないので、伝わらないかもしれません💦)
階段行列かつ行列の積で対角成分が全て0となれば零行列になるのは公式として常に成り立ちますか？
一番目はテキストの説明のまま。
二番はユニタリ行列によって対角化できる行列は正規行列に他ならない。
したがって正規行列以外の行列はユニタリ行列によっては対角化できません。
よって対角化の次善の策として三角化します
３番目は質問の趣旨がわかりません。
とにかく対角化に関してはかなりパターンや論点も多いので難しいです。
3×3までならジョルダン標準形まで学べばいいです。
4×4だと最小多項式との絡みがでてくるんですよね。
これは初等的なテキストだと載ってません。
線形代数なら佐竹、斎藤本とかになってくると思う。
僕もそこまで読んでません。
先ほどからアップしてるのは長岡本です。
長岡本のいいところは天下りではなく動機を説明しながら概念を紹介してくれてます。
もしまだ１年で線形代数が最後まで終わってないならマセマ数学の線形代数を読んでください。
細かいことは抜きにしてジョルダン標準形まで極めて丁寧に解説されています。
丁寧に解説していただきありがとうございました。
現状まだ、知識不足で理解できないところがあるみたいです…教材は初頭テキストと齋藤正彦 著の線形代数入門を併用して勉強しています。ただ後者のテキストは難しくてほとんど触れていないので、マセマ数学を1度参照してみたいと思います。
本当に助かりました。ありがとうございました!!
斎藤本は僕も全くわからないからやめた方がいいです。
まだ佐竹の方がかなり読みやすいです。
斎藤本は線形代数の最上級本なんで。
とはいえ佐竹もかなり上級者向けです。
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