Question

@??

波線部のようになる理由を教えてください、😭😭

OL
[A] 実数a, b6, cがaキc, bキ0を満たすとき, 不等式
(α°+6)(6°+c)>(6°+ac)が成り立つことを示せ。
[B] a, b, c, x, y, zを実数とする。
(1) (a+8+c)(x°+y°+z)>(ax+by+cz)?が成り立つ
(2)x+y+z=1のとき, xペ+y°+°の最小値を求めよ。

(2) x+y+z=1のとき
a=b=c=1として(1)の不等式を用いると
I
x+y°+z2
I
のときに成立する
等号は, x:y: z=1:1:1, つまり, x=y=z=-
よって, x°+y°+z?の最小値は
I

Answer 1

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monkeyなむ

等号成立条件が
x:y:z=a:b:cです。（※暗記事項）

a=b=c=1なので、x:y:z=1:1:1つまりx=y=z...①
問題よりx+y+z=1...②
①を②に代入して、x+x+x=1 ∴x=1/3

【暗記事項について】
暗記事項と書きましたが一応導き方を

この絶対不等式（コーシーシュワルツの不等式）の証明の際に、
（x^2+y^2+z^2)(a^2+b^2+c^2)-(ax-by-cz)^2
=(ax−by)^2+(by-cz)^2+(cz-ax)^2≧0
というのが出できます。

等号成立は≧が=になるとき
(ax−by)^2+(by-cz)^2+(cz-ax)^2=0

（○○○）^2の○○○の部分がそれぞれ0になれば、=0が成り立つので
ax-by=0,by-cz=0,cz-ax=0

したがって、
ax=by=czとなります。（x:y:z=a:b:cと同義）

@??

詳しく説明していただきありがとうございます！写真2枚目の解説2段目の、a＝b＝c＝1の、1は違う数でもよいのでしょうか？？

monkeyなむ

その発想はなかったです。
例えば、2にしてみましょう。

(2^2+2^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)
≧(2x+2y+2z)^2={2(x+y+z)}^2=4

最初の辺と最後の辺を比べて
(2^2+2^2+2^2)(x^2+y^2+z^2)≧4
12(x^2+y^2+z^2)≧4
x^2+y^2+z^2≧4/12
x^2+y^2+z^2≧1/3

できるようです！私も勉強になりました！具体的でわかりやすい質問のおかげです。ありがとうございます。

@??

ありがとうございます！！
とてもわかりやすかったです！