Question

あああ

5番なのですが、答えのところを四角で囲ってあるように、加速度の向きが上向きなのが分かりません。単振動の加速度は常に振動の中心向きなのでは？と思いました。x軸方向に合わせているということでしょうか？
どなたか解答よろしくお願いします🙇‍♂️

必開や54.くたてばねによる単振動〉
図1(a)は,ばね定数 k, 自然の長さLの軽いばね
(質量は無視できるものとする)を鉛直に立てたとこ
ろを示す。このばねに質量 mの薄い台を取りつけ,
台の上に質量Mの小さな物体を静かに置くと, 図1 (b) L
に示すようにばねは自然の長さからdだけ縮んでつり
あった。この位置をつりあいの位置とする。つりあい
の位置から台を軽く押し下げて手をはなすと物体は台
に乗ったままで振動するが, 強く押し下げて手をはな
すと物体は台から離れて鉛直上方に飛び出す。
ばねは鉛直方向のみに運動するとし, 重力加速度の大きさをgとして次の問いに答えよ。
(1)ばねの縮んだ長さdを求めよ。
(2) 図1(c)に示すように, つりあいの位置から手で台をsだけ押し下げた。 このとき手が台
を押している力の大きさ F。 をん, s, gのうち必要なものを用いて表せ。
つりあいの位置から手で台を押し下げた長さ sが十分に小さいとき手をはなすと, 物体と
台は一体となって振動する。 なお, x軸はつりあいの位置を原点とし, 鉛直上方を正にとる。
(3) つりあいの位置からの変位がxのとき, 物体と台にはたらく力Fを求めよ。
(4) このときの振動の周期Tを求めよ。
次に,押し下げた長さ sが十分に大きいとき, 物体は台から離れて鉛直上方に飛び出す。
物体が台から離れる変位を xo とすると, つりあいの位置からの変位xがxoに達するまで,
物体と台はともに加速度αで鉛直上方に運動する。
このとき,物体は台から垂直抗力Nを受け, その反作用とし
て台は物体から-N の力を受けているとする。
(5)物体の運動方程式と台の運動方程式をそれぞれ求めよ。
(6)垂直抗力Nを m, M, d, x, g のうち必要なものを用いて表
せ。また,導き方も記入せよ。
(7) 垂直抗力Nを変位×の関数として, 図2にグラフを示せ。
ただし, s>d とする。
(8)物体が台から離れるときの変位 xoを求めよ。
(9)物体が台から離れるときの物体の速さ vo を求めよ。 また, 導き方も記入せよ。 ただし,
m=M, s=2d とし, 答えはM, k, gのうち必要なものを用いて表せ。
ばね
物体
図1
図2
N
3Mg
|2Mg
Mg
0
S
[広島大)
000。

n)9
54(たてばねによる単振動)
4)運動方程式を立てて, 単振動の加速度の式「a=le"x」 の形に変形し,角振動数のを求める。
(6) (5)で求めた2つの運動方程式を連立させる。 (8) 「物体が台から離れるとき」 N=0
(9) (3)の結果より, つりあいの位置を原点とすると, 重力と弾性力の合力による位置エネルギーは今kx になる。
(1)物体と台を一体とした重力(M+m)g (下向き)と,弾性力 kd(上向き)と
tm
ント
9
k
5ま
P
や※A xを正として,ばね
の縮み(d-x)を考えたが、
実際には,xの正,負によら
ず,ばねの縮みは(d-x) で
表される。
や※B つりあいの位置を原
点とすれば、重カと弾性力の
合力は常に -kx となる。
F=-kx は復元力を表し、
ゆえに d=M+m)g
k
kd=(M+m)g
がつりあう。
Hs)
と示す
(2)ばねの縮みは(d+s)となる。弾性力 k(d+s) (上向き), 重カ (M+m)g
(下向き),手が台を押す力 Fs (下向き)のつりあいから
(d+s)=(M+m)g+Fs
(1)のdを代入し整理して Fs=ks
の右図は,台の変位xが正になったところを示す。物
なと台を一体のものとして考える。ばねは自然の長
※から d-x 縮んでいるから※A*, 物体と台の一
体にはたらく力の合力Fは
F=k(d-x)-(M+ m)g
(1)の関係を用いて F=-kx*B←
4)物体と台を一体として運動方程式を立てる。加速
度をa(上向きを正)とすると (M+m)a=-kx よって a==
二後、
止摩
)あっ
。4(d-x)
物体と台の一体が単振動をす
ることを示している(振動の
中心は x=0, 振幅はs)。
*※C 質量(M+m)のお
もりをつけたばね振り子(ば
ね定数k)の周期として, た
だちに
d-x
d.
0
(M+m)g
k
「M+m
T=2x、
M+m
9-8
とオーニ。
Aだけ
k
一方,この単振動の角振動数を oとすると a=-ex
としてもよい。
k
M+m※C←
上の2式から o=,
ゆえに T=2元
-=2π,
の
V M+m
k
(5) 変位xのとき,物体および台にはたらく力をそれぞれ図示す
N
x4
た(d-x)
る。ばねは自然の長さから d-x 縮んでいる。 運動方程式は
M
d-x
物体:Ma=NーM9
台:ma=k(d-x)-mg-N
(6) 0+2式から(M+m)a=-kx+kd-(M+m)g
(1)から kd=(M+m)g
0
Mg
N
mg
kx
※D=
Mgli+)
合※D(4)で物体と台を一体
よって(M+m)a=-kx ゆえに
a=
M+m
として求めた加速度
(M+m)g を代入すると
k
gx
a=ー
d
3Mgン
-x と一致する。
M+m
Mtr
(1)より k=
a=-
d
合※E 別解
の式×m-の式×M より
0=(M+m)N-Mk(d-x)
_Mk(d-x)
M+m
2Mg
これをの式に代入して N-Mg(1-号)*E*
a
Mg
(7) (6)のNは×の1次関数であるから, 求めるグラフ
は直線となる。N=0 のとき x=d
また,x=0 のとき N=Mg
8) N=0 のとき物体が台から離れるから xo=d※F←
9 3の結果より,つりあいの点(原点)を基準とすると, 弾性力と重力の合力
N=
-s -d
0 dsx
合※F この位置はばねが自
然の長さとなる位置である。
よって 右図
合※G 別解重力と弾性力に
よる位置エネルギーを別々に
考える場合は,重力による位
置エネルギーの基準を最下点
として、力学的エネルギー保
存則より
による位置エネルギーは一kx? となるから, 力学的エネルギー保存則より
M
Vo
0+(-s=}(M+m)+kd
?※G←
自然の長さ
d
m=M, s=2d を用いて
つりあい 0
の点
4=-2Mo+
-kd?
+P)+0+0
3kd
よって =,
V 2M
+(M+m)g(d+s)+0
6M
3k 4M°g
2M
(1)の結果より d=
2Mg レなるから 10ー,
k
59
物理重要問題集
O
00000000

Answer 1

たこ焼き

簡単に言えばx軸方向に合わせているということです。

問題文に、例えば、右向きを正とする、って書かれていた場合、たとえ加速度が左向きであろうと、加速度は右向きだと仮定して式を答えないといけない、と言う、物理の決まりがあります。向きが書かれていなければ、どちらを正にしてもよいです。

例えば、
水平でなめらかな床で物体m[kg]に右向きにF[N]の力を加えて動かした場合の運動方程式と加速度を求めなさい。ただし、右向きを正とする。
この場合、加速度は右向きだと仮定するから、加速度は+aを代入して、運動方程式は、
　m×(+a)=+F　すなわち、a=F/m
すなわち、加速度はF/m　　←これって加速度は右向きってことですよね。

例えば、
水平でなめらかな床で物体m[kg]に右向きにF[N]の力を加えて動かした場合の運動方程式と加速度を求めなさい。ただし、左向きを正とする。
この場合、加速度は左向きだと仮定するから、加速度は+aを代入して、運動方程式は、
　m×(+a)=－F　すなわち、a=－F/m
すなわち、加速度は－F/m　　←これって加速度は右向きってことですよね。

例えば、
水平でなめらかな床で物体m[kg]に右向きにF[N]の力を加えて動かした場合の運動方程式と加速度を求めなさい。
この場合、右向きを正とすると(加速度は右向きだと仮定すると)、運動方程式は、
　m×(+a)=+F　すなわち、a=F/m
すなわち、加速度は右向きにF/m　　←問題に向きが書かれていないので向きを答えないと
　　　　　　　　　　　　　　　　　　いけませんよね
もしくは、左向きを正とすると(加速度は左向きだと仮定すると)、運動方程式は、
　m×(+a)=－F　すなわち、a=－F/m
すなわち、加速度は右向きにF/m　　←問題に向きが書かれていないので向きを答えないと
　　　　　　　　　　　　　　　　　　いけませんよね

どちらを正にしても、答え(加速度)は変わりませんよね。

続く

たこ焼き

今回は問題に、x軸の向きが書かれています。すなわち、加速度は、(本当は鉛直下向きであっても、)鉛直上向きだと仮定して式を立てなさい、という意味です。
図の部分では、本当は加速度の向きは下向きですよ(単振動の加速度は常に振動の中心向きであるから)。
その証拠に、(6)より、変位x>0のとき、加速度は負、x<0のとき、加速度は正になりますよね。
今回は上向きを正して式をたてているから、加速度が負というのは加速度が下向き、
加速度が正というのは、加速度が上向き、を意味していますよね。

すなわち、変位x>0のとき(つり合いの位置より上にある時)、加速度は下向き、
　　　　　変位x<0のとき(つり合いの位置より下にある時)、加速度は上向き、
になります。

分からなければ質問してください。