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数学Ⅱ・数学B
第2問 (必答問題)(配点 30 )
0 を原点とする座標平面上の放物線y = x + 1 を Cとし,点 (a,2a)をPと
する。
(1)点Pを通り, 放物線Cに接する直線の方程式を求めよう。
C上の点(t, t2 + 1)における接線の方程式は
y = ア tx- t² + イ
である。この直線がPを通るとすると, tは方程式
t2
at + エ a- オ = 0
を満たすから,t=
a -
である。 よって,
a=
のとき,Pを通るCの接線は2本あり、それらの方程式は
y =
コ a - サ x
と
y =
セ x
である。
a² + ス
a
(2)(1)の方程式 ①で表される直線を l とする。 l とy軸との交点をR(0, r)
とすると,r=- シ
a² +
ス aである。 r> 0 となるのは,
ソ < a < タ のときであり,このとき,三角形OPR の面積Sは
S= チ
a
- a
となる。
(数学Ⅱ・数学B第2問は次ページに続く。)

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数学Ⅱ・数学B
ト
< a <
のとき,Sの増減を調べると,Sは α =
ナ
で最大値
をとることがわかる。
ヌネ
< a < タ のとき, 放物線 C と(2)の直線lおよび2直線
x=0,x=a で囲まれた図形の面積を T とすると
T=
ヒ
a² +
フ
ハ
ト
である。
≦a<
の範囲において,Tは
ナ
に当てはまるものを,次の①~⑤のうちから一つ選べ。
◎ 減少する
②増加する
④ 一定である
① 極小値をとるが,極大値はとらない
③極大値をとるが, 極小値はとらない
⑤ 極小値と極大値の両方をとる

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y = x²+1
y=(2a-1)x-4a²+4a.
a
R
T
P
x
(3) T+T₁ = f (x² + 1)dx =
= x + x
||
+a
*ピンク+緑
T₁ = (−4a² + 4a + 2a)×a×·
2
よってT=(
T = (-a¹³
a³ + a) − (−2a³ +3a²):
7
=
-
-2a3+3a² *緑(台形)
-3a² + a
また T'=7a2-6a+1=0 ) a =
ここで
7
3-√√2 2
a=
7
3
3+√22 3√2-5 √18-√25
3+√√√2
<0より
a =
7
3
21
21
7
よって, Tは−≤a<1において単調増加である。 ②
3

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第2問
検算はしていません(・ω・) サンコウテイドニ
【微分・積分】
C:y = x2 +1 P(a,2a)
(1) y = f(x) = x2 +1 とすると f'(t) = 2t *傾き
よって,点(t, t2+1)を通り傾き2tの直線は
y-(t2+ 1) = 2t(x-t)
.. y = 2 tx-t² + 1
・・・・・ア
この直線がPを通るとき, x=a, y=2aを代入して整理すると
2a=2ta-t2+1
:f2-2at+2a-1=0
この2次方程式を解くと
(t-2a+1)(t-1) = 0 : t=2a-1, 1
よって, 2a-1=1, すなわち a≠1のとき,Pを通るCの接線は2本あり,それら
の方程式は
t=2a-1のとき,アより
y=2(2a-1)x-(2a-1)^+1
=(4a-2)x-4a² + 4a
t=1のとき, アより
y=2x
(2)l:y=(2a-1)x-4a2+4a, R(0, r) とすると r = -4a²+4a
であり, r> 0 となるのは
-4a²+4a > 0 ∴a² -a < 0
∴a(a-1)< 0
∴0 <a<1
また, △OPR = S
R
1
-4a²+4a
= ax(-4a² + 4a)×·
2
=
= 2(a² - a³)
ここで,f(a)=-2a3+2a² (0<a<1)の最大値を考える。
f'(a)=-6a2+4a=-2a(3a-2)=0 より a=0,
0<a<1より(増減表は略すけど)
a=-
で最大値
if(
3
をとる。
=2+2=127
8
P
a
2
3
+
|2-3