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総合 楕円 C:7x2+10y2=2800の有理点とは, C上の点でそのx座標, y座標がともに有理数である
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ものをいう。 また, Cの整数点とは, C上の点でそのx座標, y 座標がともに整数であるものを
いう。 整数点はもちろん有理点でもある。 点P (-200Q (200) はCの整数点である。
(1)実数αを傾きとする直線 la : y=a(x+20) とCの交点の座標を求めよ。
(2)(1) を用いて, Cの有理点は無数にあることを示せ。
(3) Cの整数点はP と Q のみであることを示せ。
実
[中央大]
本冊数学C 例題150
よって
ゆえに
(1) y=a(x+20) を 7x2+10y2=2800に代入して
7x2+10{a(x+20)}=2800
(10a2+7)x2+400a'x +4000a²-2800=0
(x+20){(10α²+7)x+200α²-140}=0
200a2-140
←C と la の方程式を連
よって x=-20,
10a²+7
y=a(x+20) から, x=-20のとき
y=0
200a2-140
280a
x=-
のとき
y=
←y
JZ
e
立して解く。
←楕円 C, 直線 la とも
点P(200) を通るか
ら, x+20 を因数にもつ。
有理数
=実数のうち整数か分
かで表せる数の総称
10a2+7
10a²+7
したがって, 直線 l と楕円 C の交点の座標は
=a
= a(-2
200a2-140
+20
10a²+7
200a2-140 280a
(-20, 0),
10g2+7
10a²+7
(2) α が有理数のとき, (1) で求めた交点
200a2-140 280a
10g²+7
10a²+7
の座標
はともに有理数であるから, 有理点
であり, 楕円 C 上および直線 l 上
にある。
>
10a²+7 (>0),
200α²-140,280αは有
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有理数
理数で,
は有
有理数
y la
#. JA
Pa
Pbb
(0)
C
るから
2/70
また,有理数 a, b が α≠6を満たす
とき, 直線 la, l は異なるから,直
線 la, lo と楕円Cの点(-200)
以外の交点 Pa, P6 の座標は異なる。
したがって, 楕円 C の有理点は無数にある。
-20
120
0200) Qx
P
-2√70
←la: y=a(x+20) は定
点 (-20, 0) を通ること
と傾きαの変化を考え
ると,図からわかる。
(3)7x2+10y2=2800 ① を満たす整数x, y を求める。
①から 10y2=7(400-x2)
10と7は互いに素であるから,y2は7の倍数である。
よって,yも7の倍数である。
また, 7x2=10(280-y2) ≧0から
0≤y²≤280
よって, yのとりうる値は y=0, ±7, ±14
←a, b が互いに素で,
an がbの倍数ならば,
nは6の倍数である。
(a, b, n は整数)
←142=196,212=441
