積分計算です ∫(logx)^3のやり方を教えてください 書いていただけるとありがたいです。

マーカーのところがなぜ成り立つのかが分かりません。 qのところに0を代入すると分子が0になるのではないんですか？

122 積分法 【p+1,9-1 p!g! が成り立つことを証明せよ。 69 定積分漸化式 [1] In= asin" xdxについて, In+2 を In で表すと In+2= [ とな L= であることから, I = である. ただし, nは0 以上の整数とし, sinx=1 とする. [2]pg を0以上の整数とし,Ino=fx(1-x)dx とおく。 ただし, x=1, (1-x)=1とする. (1) Ip.o の値を計算せよ. (関西医科大) [2] (1) Ip.o= (2)g≧1のとき, Ipo=Ip+1.9-1 が成り立つことを証明せよ. 0+1 == ①でn=2とすると, 1-3-3-16* ①でn=4とすると, = 3π 4 = 53 5 A= T 32 ①を繰り返し用いて、 積分法 531 1 642 531x 6422 5 =fxdx Ⅰを求めてもよい というように、人を求めないで、一気に 321 .P+1 1 p+1 (上智大) (3) Ip.g= (p+g +1 )! Ip.9= (2)部分積分を行うと, ・積分 7 =√(1-x)dx= 1 = wP+1 p+1 TEL +gにすると、 (3)でこれを用いる そのまま +g+1となり、 (解答) [1] 部分積分を行うと, sin0=0, cos s=0 n+2 In+2= sin 2xdx 2 =0より、 sin'xcosx)は そのまま =0+. x²+(1-x)-1dx == p+1Jo 1p+1.9-1 -SH P+1 p+1 (− q(1-x)-1) dx 微分 は0となる となるので, ・そのまま -積分 +1 sin" x sinxdx= sin' `xCOSx +1 そのまま n+2^ I₁₁ = 次に、を求めると, sinxdxf1dx-11-1 π = = = 2 ①でn=0 とすると, 12= 6= 4-4-4-4 1 22 =(n+1) 2 sin" x cos²x dx =(n+1)Jf sin"x(1-sin'x)dx Cuttin=(n+1)f(sin”x-sin"+2x)dx 微分 sin"+1x=(sinx) *+1であるから,これを (n+1)(sinx)" x (sinx)'= (n+1)sin" x cos x 微分すると, となる =(n+1)*sin" xdx-(n+1)sin+2x dx =(n+1)In-(n+1)In+2 したがって, In+2=(n+1)I-(n+1)In+2 が成り立ち、これを整理すると, (n+2)In+2=(n+1)In i. Int2=n+1In が成り立つ。 Ip.q= = p+1 (3)(*)を繰り返し用いると, p+1 Ip+1,9-1 q 9-1 -Ip+2.9-2 p+1 p+21 q -Ip+1,9-1 9-19-2Ip+3.9-3 p+1 p+2 +31 q p + 1 p +2 +3 (*)・・・ (n+1)sin” x cosx •(−cosx)dx を+1, gg-1とすれば、 D+210120-1 という関係になる. このように, q の値を変えて ( * ) を ( 3 ) で使う 9-1 p+2 Ip +20-29-2 を用いた p+3 g! と表せる q-1 q-2 1 p+g -Ip+9.0 PE (*)を使うごとにLa の 「のと 「ころ」の数が1つずつ小さくなっ ていくが0になると,それ以 上 (*)を使うことはできない。 そ =_9_g-1g-2 p+1 p+2 p+3 1・2・3・・・・・ p!q! 分母に1・2・3 (p+g + 1)! 1 このため, I. が出てきた段階で、 p+g p+q+1 (*) を使った変形はストップする 1-2-3 p. g.g-1g-2 したがって, Ipq= p+1 p+2p+3 1 p+q p+q+1 を補えば, 分母は(p+g+1)! と表せる。 分母だけに補うことはできないので、分子にも補っておく p!q! が成り立つ. (p+g+1)! 1 123

回答の解法はわかったのですが自分の答えがなぜダメなのかが分かりません。教えてください。(1)のI n+2 の問題です

積分法 69 定積分漸化式 [1] Insinx dx について, In +2 を In で表すと In+2= [ る. I = であることから, Is=___である.ただし, nは 0 (関西医科大) 以上の整数とし, sinx=1 とする. [2].gを0以上の整数とし,Ing='x(1-x)dx とおく。 ただし,x=1,(1-x)=1とする. (1) Ip.o の値を計算せよ . か!g! (3) Ipq=(p+g+1)! (2)g=1のとき,In.opf が成り立つことを証明せよ。 14. 0+3 が成り立つことを証明せよ. ■解答 [1] 部分積分を行うと, - Sisinxdx n+2 In+2=² sin ・積分 1x sinx dx = sin" そのまま n+1 Die sin0=0, cos- 号=0より, [sin"'x.(-cosx) | 2 _:_ n+1 π =(n+1) "sin" xcos' x dx Jo p+1,9-1 = F+d; 730 X. •(- - COS x 0= 2 =(n+1) "sin"x(1-sin'x)dx =(n+1)f (sin"x-sin +2 x) dx +2 =(n+1) ¹ sin" x dx - (n+1) * sin¹+² x dx =(n+1)In-(n+1)In+2 したがって, In+2=(n+1) In- (n+1) In+2 が成り立ち、これを整理すると, (n+2)In+2=(n+1) In ∴. In+2= 次に,Lを求めると, Le= fusinxdx=1dx=1x12=1/20 ① でn=0 とすると, n+1In n+2 . とな そのまま J ]] - [ ²³ (n + 1) sin" x cos x ( − cos. x) dx 0 微分 (上智大) sin"+1x=(sinx)" +1 であるから 微分すると、 π は0となる (n+1)(sin.x)x(sin)(n+1) siniacos π 4

写真の問題についてですが、なぜn≧3という条件があるのですか？n<3のときは、成り立たないのはなぜですか？ また、n≧3という条件が加えられている理由を教えてほしいです。

発向 98 部分積分法 (IV) = sin" rdz とおくとき, 部分積分法を用いて, DibHeard 精講 0 n-1 n In= -In-2(n≧3) を示せ . 入試では頻出テーマですが,「部分積分法を用いて」の部分がかいて ないことが多いようです。 結果を覚えておく必要はありませんが、 解答の流れは頭に入れておく必要があります. 解答 In= = fusi 2 sinn-1x sinxdx= TC -[-sin' 'rcos z]*-*(n-1) sin"-"r(sin 1)' cos rdr + xdx →合成関数の微分 62 TC x 2 π 0 -1 - sin¹-¹x-(- cos x) dx =(n-1) "sin"-2r.cos'rdz =(n-1) fasin"-"r(1-sin'x)dz =(n-1)(In-2-In) ∴.nIn=(n-1)In-2 (+1) golz in In=(n-1) (In-2-Int よって,In=n-1Inz(n≧3) n

積分漸化式です。 (4)は、I(m+n-1，1)が現れるまで繰り返すようですが、このm+n-1と1はどのようにして出てきたのですか？

思考プロセス ★★★ 例題244 mnを自然数とする。定分I(mm) = f(x)dx について (1) I(m, 1) を求めよ。 (2) I(m,n)=I(n, m) を示せ。 (-)-40- (3) n ≧2のとき,I(m,n) をI(m+1, n-1)を用いて表せ。 (4) I(m,n) をm, nを用いて表せ。 《@Action 対応を考える 積分漸化式は, 部分積分法や置換積分法を利用せよ (2) I(n, m) = -S₁x (1-x) dx X 1 (m, n) = √ √x (¹²) (4) (3) ← とおく (3) I(m,n) とI(m+1, n-1)の関係を考える。 I(m,n) = x" (1-x)"dx← = S²² 次数下がる (微分) x (1-x) dx 次数上がる (積分) I(m+1, n-1)= = Sx (1) I(m, 1) = +1 I(m,n) = /(m+1, n-1)=... -1 =√₁ (x² fx™ (1-x) dx xm-xm+1)dx 等しいことを示す。 |x+1 (1-x)"-1dx xm+1 .m +1 mm +2 m+2 (2) 1-x=t とおくと, x=1-t であり dt dx =-1 xtの対応は右のようになるから I(m,n)= -L₁₁ 1 1 1 m+1 m+2 (m+1)(m+2) (1-t)mtn (-1)dt 積の形であるから, 部分積分法 (,1) (1) の利用 x 0→1 t 1 → 0 =fra-t)"de - L'x²-x)- =fx x"(1-x)"dx = I(n, m) ( 東京電機大) 例題243 部分積分法を用いて求め ることもできる。 ola dx=-dt MGA ¶ (3) n ≧2のとき I(m, n) = (43)より、 北m+1 [***(1-x) dx = f(+1)(1-x)" de Sx d= m+ dx mm+1 ・ (1 − x)" ] ) + S •n(1-x) dx xm4 m+1 I(m, n) n m+1 n m+1 m+1 m+1 Jo n m+1 ≧2について n m+1 n-1 m+2 JM +1 1 (1-x)"-1 dx I(m+1, n-1) -I(m+1, n-1) I(m+2, n-2) . n-2 n-1 m+2 m+3 2 m+n- n! (m+1)(m+2)(m+n-1) m!n! (m+n+1)! これは,n=1のときも成り立つ。 したがって I(m,n)= I(m+n-1,1) 1 (m+n)(m+n+1) m!n! (m+n+1)! (x) B(p,q+1)= 4 B(p, q) p+q たが, b, gが正の数であるときの定積分 B(p, y) = 数と呼ばれている (大学数学の内容)。 ベータ関数には次のような性質がある。 (ア) B(p, g) = B(q, b) (イ) pB(p,q+1)=qB(p+1,q) (ウ) B(p +1,g)+B(p, g+1) = B(p,q) 部分積分法を用いる。 √x+(1-x) dx =I(m+1, n-1) I(m, n) n m+1 I(m+1, n-1) -I(m+1, n-1) n-1 m+2 I(m+2, n-2) I(m+2, n-2) n-2 m+3 これらの関係を I (m+n-1,1) が現れる までくり返す。 (m+1)(m+2)(m+n+1) I(m+3, n-3) Point ベータ関数 例題244では,m,nが自然数であるときの定積分I(m,n)= = fox" x" (1-x)"dx を考え P1(1-x)dx はベータ関 (m+n+1)! m! 例題244 (2) と同様 例題244 (3) と同様 6章 定積分 ■244 例題 244 の結果を用いて, 定積分 ∫ x (1-x)* dx を求めよ。 また,自然数 m, nに対して S" (x-a)(x-B)" dx を求めよ。 p.445 問題244

I_(m,n)=∫{(sinx)^m}{(cosx)^n} dx に対してI_(m,n)、I_(m,n-2)の漸化式を求める問題 {(sinx)^m}{(cosx)^n}を微分すると m(sinx)^(m-1)*(cosx)^(n+1) - n(sinx)^(m+1)*(... 続きを読む

I_n=∫1/{(1+cosx)^n} dxに対してI_n-1、I_nの漸化式を求めろ という問題 始めは、1/{(1+cosx)^(n-1)*1/(1+cosx)で部分積分しようかと思ってたが、もともとが分数のためにうまくいきそうにない 数学つよつよな人、解き方教えて欲しい

この積分はどうやって解きますか？ ∫[0, 1] y²/(y²+1)³ dy べき乗型、部分分数分解、tant置換もやってみたんですが解けなかったです。 また、結果は知ってますが、reduction formulaを使ってるようです。この公式の日本語を知ってる方はいます... 続きを読む

2 り 販請語 (9 十1) Write yas9?"十1一1andsplit: 9 十1 1 em (2+1" (の+1) 1 1 Ft (2者にに(2者遇 Apply linearity: か 記 放記 了 Now solving: 上 計y革 (2宇和 Apply reduction formula: 1 2nー3 1 グ / 2 ュ d9三 ー ュー1 d9 ュー1 (ag*十b) 2b(nー1) (az2 上) 2b (ュー1) (ay? 十b) NIINtoキ補欠Yeーータ6 グ 5 1 はにE学設は8主 2(2キ1 2 2エエンマ

解き方を教えてください