3
y = logyi
= logyy
<-x+1
小反対
5x+3
-
0:00
とすると、
基本例題180 対数関数の最大 最小 ( 1 )
00000
1≦x≦8のとき, 関数 y = (10g2x)" +810g=2x+1og232の最大値と最小値を求め
よ。
指針▷ 対数関数の最大・最小問題では, log2x=tなどのおき換えによって,tの 2次関数の最
大・最小問題に帰着することが多い。
まず底を2にそろえて log2x=t とおくと, yはtの2次式となる。
2次式は基本形 at-p+αに直す で解決!
なお、変数のおき換えは,そのとりうる値の範囲に注意が必要。
10gxの底2は1より大きいから, 1≦x≦8のとき log21≤t≤log28
CHART 対数関数の最大 最小 おき換えで2次関数の問題に
解答
10g2x=tとおくと, 1≦x≦8であるから
また
log21≤t≤log28 5 0≤t≤3 1
log2 2x log22+log2x
log12x=
-2
log₂-
log2 32= log2 25=5
であるから,yをtの式で表すと
y=1+8.1+1)+5
2
=t2-4t+1=(t-2)²-3
①の範囲において, y は
t=0 で最大値1,
t=2で最小値-3
をとる。
t=10g2xより, x=2であるから
t=0のとき x=2°=1,
Biser.
したがって、この関数は
をとる。
0
-2
t+1
2
"
x=1で最大値1, x=4で最小値-3
2 37
t=2のとき x=22=4
[東北学院大〕
基本 177
t
底2は1より大きい。
log28=log223=3
底の変換公式を用いて,o
底を2にそろえる。
① 2次式は基本形に直す
t²-4t+1
=(t2-4t)+1
=(t-2)^-22+1
tの値からxの値を求める。
対数の定義を利用。
練習
② 180 (2) 1≦x≦5のとき, 関数 y=210g5x+(10gsx) の最大値と最小値を求めよ。
(1) 関数y=10g(x-2)+210g (3-x) の最大値を求めよ。
(3)
1≦x≦27 のとき、関数y=(10gs3x) (10gs/2/27) の最大値と最小値を求めよ。
[(1) 南山大, (2) 群馬大〕
281
5章
31
対数関数