（2）の問題ですが、⑴で出た答え以外。として、答えを出すのは不十分なのでしょうか。

.28 第2章 高次方程式 Think 例題64 3次方程式と実数解 αを実数の定数とする. 3次方程式x+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3=0 について 次の問いに答えよ. (1) 重解をもつように,定数aの値を定め、そのときの重解を求めよ、 (2) 異なる3つの実数解をもつように,定数aの値の範囲を定めよ [考え方 まずは、次数の最も低いα について整理し、3 *) 0 xの1次式)×(xの2次式) P(x) はーー 252310 の形に因数分解する. (1) 2次方程式の解が, 1次方程式の解を含む」場合と,2次方程式が重解をい (2) 2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式 場合の2通りが考えられる. x)/(E を含まない場合である. Pk8- 解答 (1) f(x)=x2+(a-1)x+(a−3)x-2a+3 と する. J+x81- a について整理すると,z+ f(x)=x2+(a-1)x²+(a-3)x-2a+3 =(x²+x-2)a+x³-x²-3x +3 =(x-1){(x+2)a+x°-3} =(x-1)(x2+ax+2a-3) -3(x-1) より, f(x) は x-1 を因数に 1枚分解平は もつ. ご教の低い文字で//=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)^-1d0+(a-3)・1-2a+3 これを利用して因数分解して よい. 「組立除法 (+508 +S) 11 a-1a-3-2a+3 a 20-3 f(x)=0 とすると, x-1=0 または x2+ax+2a-3=0 したがって, f(x)=0が重解をもつのは, 次の2通りの場合である。 (i)x+ax+2a-3=0 が x=1 を解 にもつ (i)x+ax+2a-3=0が重解をもつ (i)のとき,x=1 が解であるから 1'+α・1+2a-3=0 より, a=- 2014 D=a²-4(2a-3)) p =a²-8a+12 =(a-2)(a-6) したがって £), a=2, 6 重解はx=-- 32 (Ⅱ) のとき、x2+ax+2a-3=0 の判別式を Dとすると、重解をもつので、D=0である。 77 (-2)(46)=0 a 2 より, 次数の低い文字で整理して a a=2のとき a=6のとき, 数分解する. f(1)=13+(a-1)・12 x=-1 x=-3 ²SC 1 IS-₂0 1=5 1&V+S=x1 1 a -dp4 x=1 が重解 残りの解は、 2 84-206 (x-1)x+ 5000+ - 0 を解いて 3 20-1 +8 √(x + 3) = 18-9085 よ より、メー り (S=4510082 0=0 10 (+S) 3010 max²+bx+c=0 ( a = 0) 4th b をもつとき、x=- 2a のの重解を求める。 a=2,a=6のそれぞ

こちらの問題についてです。答えは以下の通りなのですが、黄色で線引きした部分で、なぜP(k)＝0とあるように、kを代入したら＝0になるとわかるのですか？？普通は数字を代入しようと思うのですが、、教えていただきたいです！、

例題 12 考え方 解 高次方程式の解の判別 方程式 - (2k+1)x2+(k+k+1)x-k=0… ① の実数解がただ1つと なるように、 定数kの値の範囲を定めよ。 ただし, 重解は1つと数える。 13 ↑とりあえず実数が十 方程式の解は, 3重解か, または実数解1つと異なる2つの虚数解である。 P(x)=x- (2k+1)x²+(k+k+1)x-k とおく。 xkを代入すると 20になる。 これより, 方程式 ① の左辺を因数分解すると (x-k){x²-(k+1)x+1}=0 よって または x-(k+1)x+1 = 0 x= k = したがって, ① がただ1つの実数解をもつのは, 2次方程式 x²-(k+1)x+1 = 0 ... ② が もう決まった (i) x = kを重解にもつ (ii) 異なる2つの虚数解をもつ のいずれかが成り立つときである。 (i) のとき, ② に x = k を代入すると k² − (k+1)k+1=0 k=1 このとき, ② は x2-2x+1=0 となり, (x-1)=0 より x = 1 を重解にもつ。 (i) のとき, ② の判別式をDとすると, D= (k+1)^-4<0より −3<k<1 (i),(ii)より -3<k≦1 14P(k)=0 であるから, P(x)はxんを因数にもつ。 201

この問題がf(a)×f(-a)の解を場合分けしている理由がわからないです。解説お願いします。

392 第6章 微分法 Check 例題221 実数解の個数 (2) 3次方程式x-3a²x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする. 定 数αの値の範囲を求めよ. 考え方 例題 220 (p.391) のように定数を分離しにくい. このような場合は、次のように3次関 数のグラフとx軸の位置関係を考える. f(a) f(B) <0 y=f(x)] AJ. x 3次方程式f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ mň mn ⇔y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる mü ⇔ (極大値)>0 かつ (極小値) <0 ← (極大値)× ( 極小値) < 0 ■解答 f(x)=x-3a²x+4a とおくと, f'(x)=3x²-3a²=3(x+a)(x-a) ① 方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は, y=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること, (極大値)×(極小値) < 0 つまり, となることである. (i) ①より,f'(x)=0のとき, x=-a, a a>0のとき, -a [f'(x) + 20 増減表は右のよう になる. f(x) 極大 極小 a<0のとき, 増減表は右のよう になる. 3次関数においては, | (極大値)> (極小値) f'(x) + f(x) a *** 注) 例題221 で, (i) f(x) が極値をもつ、 (Ⅱ)(極大値)×(極小値) <0 のいずれかを 満たさないときは、 右の図のようにx軸 と3点で交わらない. (i) と(ii) をともに満たすことが重要である. a 20 + -a 0 極大 極小 a=0 のとき, f(x)=x3 より, f(x)=0 の解は x=0 (3重解) となり不適 (ii) f(-a)x f(a)=(2a³+4a)(-2a³+4a) 0 + =-4a² (a²+2)(a²-2)<0 (i) より, a=0 であるから,²0, ²+2>0 より, a²-2>0 (a+√2)(a-√2)>0 これより, a<-√2√2<a よって, 求めるαの値の範囲は, a<-√2,√2<a ( 極値をもたない) *** f(x) が極値をもつ ⇔ f'(x)=0 が異なる 2つの実数解をもつ f(x)=0 の (判別式) > 0 (p.373 参照) 直接, 増減表を書いて |極値を調べたが, f'(x)=0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると, D=-4.3(-3α²) =36a²>0 より、 a<0, 0<a (a+0) となる. f(a) f(B)>0 a H1

⑴、⑵、⑶と違い、⑷のようなグラフがくるときの見分けかたはありますか？増減表を計算して出す以外の方法ありますか？

練15 (1) y = 3x4 + 4x³-1²x²+5 y₁ = (2x ³ + (2x² - 24x = [2 x(x²+x-2) = [2 x (x+2)(x-1) x=0₁-2₁ 1 20 y! | y -2 V-27 x 0 151 y + y 7 x=0₁ 2₁1. + x=-2で極小値-27 x=0で極大値 5 y 0 0 -29 2 (3) y = -x² + 4x² + 4x² + 2 9₁ = - 4x³ 1 1²X² +8x = − 4x (x²-3x + 2) = − 4x (x-²)(X - () 0 y D 5 1 L 7 2 I 0 0 1 0+ 6 1 7 2 x=0.2で極大値: x=1で極小値1 2 2 + TH (2) y = x4 -8 x ² + 16 y'=4x3-16× x = 0₁ -2,2 X 4 x (x²-4) = 4x (x-2)(x+2) y' y - V - 2 0 x y' 0 as af x = -2₁27' ut y T x = 07" +5² KL 16 y (4) y=x4+2x+1 g₁ = 4x³ + 6x² 7 0 2 0 2で極小値0 X=0₁ - 1/1/201 16 = 2x² (2x+3) - 3-1 0 0 + 0 11 7 2 Ext - 0 0 7 x=-21/2で極小値-116. 71 (<1 t x

2番の接点以外の共有点を求める問題で、 ３次式なので解が３つ出て、そのうちの一つが、X＝1なのは分かるんですが、なぜ、X＝1の時重解を持つと言えるのですか？ あと、組み立て方式で計算すると、Xが-1/2ではなく1/2が出てしまいます。

428 3次関数y=2x-3x²-12x について,次の問いに答えよ。 (1) この関数のグラフCの x=1における接線l の方程式を求めよ。 (2) Clとの接点以外の共有点のx座標を求めよ。 20 (3) Clで囲まれる部分の面積を求めよ。 〔類 17 摂南大]

解き方を教えてください！！

f(x)=x°+(a-1)x+(6-a)xーbについて, (1) f(x) を因数分解せよ。

増減表についてです。　(4)では何故赤丸で囲ってある矢印の向きが↘︎になるのか教えていただきたいです。また、増減表の矢印の向きは必ず　↘︎ ↗︎ ↘︎ のように交互になるのだと思い込んでいたのですが、この考え方は間違っているでしょうか？ 沢山書いてしまいすみません🙇よろ... 続きを読む

. 207 練習19 次の方程式の異なる実数解の個数を求めよ。 (1) x°+3x-5=0 (3) -x°+3x°-4=0 (2) -x+3x+9x-7=0 (x-2x-1=0

赤の線のところになるのでしょうか？また、黄色の線の囲われているところは公式なのですか？何故このような式になるのかも教えてください🙏

xの3次方程式(x°+a)(2x+α°+1) = (x°+2a+1)(x+α') が重解をも つような実数aの値とその重解を求めよ。 《@Action 3次方程式は,まず(1次式)(2次式) =0 の形に変形せよ 例題52 式を分ける (1次式)(2次式) 3D0 が重解をもつ (1次式)= 0 が実数解aをもつとすると (ア)重解をもつ (イ)aを解にもつ (2次式)= 0 は 12重解も3重解もまとめ て重解という。 I6 とおく (a) -0であるから,f(x) は x-aで割り切れる。 日与えられた方程式の左 辺と右辺はxとaを入れ 換えただけの式であるか ら,x =a が解になるこ とが分かる。 よって f(x) = (x-a){x+ (a+1)x+(α°+a-1)} f(x) = 0 が重解をもつのは (ア) +(a+1)x+(a°+a-1)=0…① が重解をもつとき 0の判別式をDとすると D= (a+1)?-4(α°+a-1) = - (a-1)(3a+5) D=0 のよと子の た っとき a+1 a= 2 5 (a-1)(3a+ 5) =0より a= 1, 3 このとき重解は a+1 a=1のとき ー1 x= 2 5 a+1 1 a=ー 3 -のとき x= 2 3 II II 1 歴WSNロPK

1つ目赤の線で囲われているところは2つ目のと同じですよね？(語彙力無さすぎてすみません💦、伝わりましたでしょうか？) 黄色の線のところの解はもう解がでているから答えには入ってないんですよね？ 緑の線の解が1つずつ増えているのは、x=2が入ったという解釈で大丈夫でしょうか？ ... 続きを読む

xについての3次方程式 xーax" + 2ax-8 =0 …① の異なる実顔 個数を実数aの値の範囲で分類して調べよ。 式を分ける → 実数解a 因数定理により, ① は (1次式)= 0 一歌する。 あるか。 判別式 実数解 または (2次式)= 0 →D>0…2個 D=0…1個 (1次式)(2次式)= ID<0…0個 =0 の形に変形せよ Action》 3次方程式は,まず (1次式)(2次式) f(a) = 0 となる。 土(8の約数)の 2a -8 ーa f(x) = x°- ax° + 2ax-8 と おくとf(2) =0 であるから, 『(x)はx-2で割り切れる。 S(x) = (x-2){xー (a-2)x+4} 方程式レは、(x) = 0 より 8 を消去できるも。 るとよい。 例題45 Poinl 2 -2a+4 4 0 46 1-a+2 または x-(a-2)x+4=0 (a-2)x+4= 0…2 とおく。 と=2 ここで、 2の判別式をDとすると D= (a-2)°-16 = (a-6)(a+2) (ア) D>0 すなわち a<-2, 6<aのとき 2は異なる2個の実数解をもつ。 (イ) D=0 すなわち a= -2, 6 のとき 2は重解をもつ。重解は a= -2 のときx= -2, (ウ) D<0 すなわち -2<a<く6 のとき 2は実数解を 。 このうち,2が= 2を解にもつとき 2°-2(a-2)+4 -Eh よって,イ)の場合に含まれ,このとき2は重解 x =2 を もつから,3次方程式①は3重解x=2 をもつ。 以上より,方程式①の異なる実数解の個数は aく-2, 6<a のとき(3個 38 2次方程式 ax° + bx +c が重解をもつと a=6 のとき x=D2| 重解は x= - I2がx=2 つときを調べる a=6 {a= -2 のとき 2個 |-2<a£6 のとき 思考のプロセス」

この問題の解説の、(Ⅱ)のところをなぜやるのかがわかりません ここでは何をしているのか教えて下さい🙏

392 第6章 微分法 Check 例 題 221 実数解の個数2) V3次方程式 x-3a"x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする。定 数aの値の範囲を求めよ。 考え方 例題 220 (カ. 391) のように定数を分離しにくい,このような場合は,次のように3次関 f(a).f(B)<0 数のグラフとx軸の位置関係を考える。 3次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ → y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる →(極大値)>0 かつ (極小値)<0 →(極大値)×(極小値)<0 y=f(x) 3次関数においては, (極大値)>(極小値) AV w 解答 f(x)=x-3a'x+4a とおくと, とプ)=3x-3a=3(x+a)(x-a), ·· セラ方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は, ソ=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること, つまり, となることである。 (i) のより,f(x)=0 のとき, a>0 のとき, 増滅表は右のよう になる。 f(x) が極値をもっ →f(x)=0 が異なる 2つの実数解をもつ →f(x)=0 の (判別式)>0 (極大値)×(極小値)<0 fs) x=-a, a (p.373 参照) 直接,増減表を書いて 極値を調べたが, f(x)=0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると, D=-4-3(-3a°) =36a>0 より, (よか a<0, 0<a (aキ0) となる。 x ーa a f(x) + f(x)| 極大 極小 0 0 a<0 のとき, 増減表は右のよう になる。 →x ーa x a -a o、a! 0 0 f(x) 極大 極小 a=0 のとき、f(x)=x° より, f(x)=0 の解は A=0 (3重解)となり不適 個)f(-a)×f(a)%3 (2a°+4a)(-2α°+4a) 、フリート代入 0 =-4a°(a°+2)(a-2)<0 (i)より,aキ0 であるから, α">0, α'+2>0 より, a-2>0 これより, よって,求めるaの値の範囲は, a<-2, (2<a a<-(2,(2<a 注》例題 221 で, (i)f(x) が極値をもつ, (i)(極大値)×(極小値)<0 のいずれかを 満たさないときは, 右の図のようにx軸 と3点で交わらない。 (i)と(i)をともに満たすことが重要である。 (極値をもたない) f(a).f(B)>0 A B