数学
高校生
解決済み

この問題の解説の、(Ⅱ)のところをなぜやるのかがわかりません
ここでは何をしているのか教えて下さい🙏

392 第6章 微分法 Check 例 題 221 実数解の個数2) V3次方程式 x-3a"x+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする。定 数aの値の範囲を求めよ。 考え方 例題 220 (カ. 391) のように定数を分離しにくい,このような場合は,次のように3次関 f(a).f(B)<0 数のグラフとx軸の位置関係を考える。 3次方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ → y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わる →(極大値)>0 かつ (極小値)<0 →(極大値)×(極小値)<0 y=f(x) 3次関数においては, (極大値)>(極小値) AV w 解答 f(x)=x-3a'x+4a とおくと, とプ)=3x-3a=3(x+a)(x-a), ·· セラ方程式 f(x)=0 が異なる3つの実数解をもつ条件は, ソ=f(x)のグラフがx軸と3点で交わること, つまり, となることである。 (i) のより,f(x)=0 のとき, a>0 のとき, 増滅表は右のよう になる。 f(x) が極値をもっ →f(x)=0 が異なる 2つの実数解をもつ →f(x)=0 の (判別式)>0 (極大値)×(極小値)<0 fs) x=-a, a (p.373 参照) 直接,増減表を書いて 極値を調べたが, f(x)=0 の判別式を 使ってもよい。 判別式をDとすると, D=-4-3(-3a°) =36a>0 より, (よか a<0, 0<a (aキ0) となる。 x ーa a f(x) + f(x)| 極大 極小 0 0 a<0 のとき, 増減表は右のよう になる。 →x ーa x a -a o、a! 0 0 f(x) 極大 極小 a=0 のとき、f(x)=x° より, f(x)=0 の解は A=0 (3重解)となり不適 個)f(-a)×f(a)%3 (2a°+4a)(-2α°+4a) 、フリート代入 0 =-4a°(a°+2)(a-2)<0 (i)より,aキ0 であるから, α">0, α'+2>0 より, a-2>0 これより, よって,求めるaの値の範囲は, a<-2, (2<a a<-(2,(2<a 注》例題 221 で, (i)f(x) が極値をもつ, (i)(極大値)×(極小値)<0 のいずれかを 満たさないときは, 右の図のようにx軸 と3点で交わらない。 (i)と(i)をともに満たすことが重要である。 (極値をもたない) f(a).f(B)>0 A B
X= ( 3車解) り不週 いよか バーの×La)3 (2α°+4a)(-2a'+4a) =-4a°(a°+2)(α°-2)<0 (i)より,aキ0であるから, a>0, α'+2>0 より, a-2>0 これより, a<-V2, V2 <a よって, 求めるaの値の範囲は, a<-(2, V2<a 例題221 で,(i)f(x) が極値をもつ, (極値をもたない (;;) (拓士伝)v(拓ふ歯/ の いずれかを
数ⅱ 微分積分 微分 実数解の個数

回答

✨ ベストアンサー ✨

下の注 に説明書いてありますよ
三つの解を持つためにはX軸がちょうど極大の所と極小の所の間に無いといけないのはわかります?

極大値と極小値が軸挟んで反対側にあるって事は
二つの符号が違うって事なんで
極大値と極小値の積をとると負になるって事だと思います。

f(-a)f(a)=極大×極小、てことですね。わかりました!ありがとうございます

ものぐさ

そうですね この考え方のポイントはf(a)とf(-a)のどっちが極大でどっちが極小かを考えなくて良い事ですね。この問題なら三次の係数正と分かっているのでどっちがどっちかは明らかですけど問題によってはどっちもあり得るみたいな時もまとめて考えることができます

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