最小(4)
/美数x, yがx+y?=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
計>条件式は文字を減らす方針でいきたいが、条件式x+y"=2から文字を減らしても,
重要 例題
187
【類南山大)
基本 98
2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで, 2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x として yを消去し,x+y°=2 に代入すると
+(-2x)=2 となり, xの2次方程式 になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ-→ D20 の利用。
3章
13
「CHART 最大·最小 3Dtとおいて, 実数解をもつ条件利用
解 答
+y=tとおくと
これをx+y°=2に代入すると
の
参考 実数 a, b, x, yにつ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー·シュワルツの不
ソ=t-2x
x*+(t-2x)°=2
5x°-4tx+t?-2=0
このxについての2次方程式 ②が実数解をもつための条件は,
等式)。
2)
(ax+by)<(a+が)(x*+y)
[等号成立は ay=bx]
整理すると
a=2, b=1を代入すると
0の判別式をDとすると
D20
『ここで
4
ー=(-2t)°-5(ー2)=-(fー10)
x*+y°=2であるから
(2x+y)°<10
D20から
t2-10<0
よって
-10 $2x+y</10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして,左と同じ答
えを導くことができる。
これを解いて
ーV10 StS/10
ニ土/10 のとき D=0で, ②は重解x=-
-4t _ 2t
をもつ。
5
2.5
2/10
V10
のから y=±
ニ+、10 のとき x=±
5
5
(複号同順)
したがって
2/10
x=
のとき最大値/10
5
V10
5
のとき最小値 - /10
5
10
2/10
, ソ=
xミー
5
2次不等式
