部分分数の分解なんですが、分子がa,b,cの定数の時とbx+cとかの一次関数がでてくる時があるのはなんでですか？見分け方はありますか？

数学Ⅲ A問題,B問題, 応用問題 [a, c の値める]恰 式の両 x(x+ 掛けて 3x+2=(x+1)2+bx(x+1)+cx x=0 とすると 2=a x=1 とすると1=-c x=1 とすると よって a=2,b=-2,c=1 5=4a+26+c 逆に、このとき,与えられた等式は成り立つ。 X800 222 指 針 これらを解くと 部分分数の分解は、よく出てくる次の形を覚 えておくとよい。 a bx+c + (2) とおく。 x(x2+1) x x2+1 両辺にx(x2+1) を掛けて 1=a(x2+1)+x(bx+c) 右辺を xについて整理すると 1=(a+b)x2+cx+a 両辺の同じ次数の項の係数を比較して a+b=0,c=0, a=1 a=1,b=-1,c=0 よって与式=S x dx x x2+1 mx+n a b + (xa)(x-β) x²+mx+n x-α x-β =S{ 1 (x2+1) 2 x2+1 1 =log|x|--/2log(x2+1)+C dx ① *2 a b C + + (xa)(x-β)2 x-α x-B (x-β)2 >as 1 x2 lxe+mx+n (xa)(x²+x+g) bx+c + = -log- +C 2+1 x-α x2+px+g (p2-4g < 0 ) 別解 [部分分数に分解] a bx+c + 1 a b C aia x(x2+1) x x2+1 (1) + x2(x+2) x+2 x 両辺にx(x+2) を掛けて 1=ax2+bx(x+2)+ c(x+2) x" とおく。 両辺にx(x2+1) を掛けて 1 = a(x2+1) + xbx+c) x=0 とすると 1=a x=1 とすると 右辺をxについて整理すると S+raies= x=-1とすると 1=2a+b+c_ 1=2a+b-c at 1= (a+b)x2+ (2b+c)x+2c 両辺の同じ次数の項の係数を比較してmal= a+b=0,2b+c=0, 2c=1 よって a=1,b=-1,c=0 逆に,このとき①は成り立つ。 x2+1 a a=- これらを解くと=121b120=1/2 (3) + C= 4-5x2+4 x2-4 b x2-1 とおく。 4' 2 = って 与式=- 1 1 2 両辺に (x2-4)(x-1) を掛けて x2+1=α(x2-1)+6(x2-4) + x+2 2 dx200 x x" =1/loglx+21-10gx-2)+C +C =1/108x+2-12/24 + [別解 [部分分数に分解] 1 右辺をxについて整理すると x2+1=(a+b)x2-a-4b 両辺の同じ次数の項の係数を比較して a+b=1, -a-4b=1 5 これらを解くとa=,b=13 2 a b 5 dx 2 dx C + + x x2 よって = x²-1 5 1 dx x^2(x+2)x+2 とおく。 両辺にx(x+2) を掛けて 1=ax2+bxx+2)+ c(x+2) x=-2 とすると x=0 とすると x=1 とすると 1=4a 1=2c 1=a+36+3c 定款 (1 (3) 12(x-2 x+2 (311)dx x+1 n 5 1 (1og|x-2|-log|x+2) 12 1 1 C= 2 -12 (1oglx-11-10g|x+1)+C a=11, b = −1 逆に、このとき ①は成り立つ。 x

数I 2変数の2次式 （3）の問題です。最小値が1であるのはなぜですか？？ （2番で求めた最小値を使っているのだと思いますが、2番の最小値が3番でも適用される理由が分かりません。） 教えていただけると嬉しいです！！！

数の 次式 89 x, yが互いに関係なく変化するとき P=x2-4xy+5y2-6y+10 について,次の問いに答えよ。 (1)Pをxの関数とみて, Pの最小値をyで表せ。 (2)mの最小値とそのときのyの値を求めよ。 (3) Pの最小値とそのときのx,yの値を求めよ。

高次方程式についての質問です。紫のアンダーラインを引いたω*2+ω+1=0には何故のこの式が成り立つのかの証明がなかったのに、ω*3=1は何故式の成り立ちが証明されているのでしょうか。二枚目は一問前の問題で、これには、性質についてまず証明しろと書いてあります。何故ω*2+ω... 続きを読む

1の3乗根の虚数のうちの 「解答 これから使う性質に ついてまず証明して おく. ***** ■よ.ただし,n は整数と 1 1)2-1 (岡山県立大改) コ) = 0 より wはx=1 の解 例題 56 x'+x+1による割り算の (1) a, b が実数, zが虚数のとき を証明せよ. a+bz=0 a=0 かつ b=0 3 高次方程式 119 **** (2)x+2x+3x²+5x-1をx²+x+1で割ったときの余りを求めよ. 考え方 (1) a+bz=0 a=0 かつ b=0 の証明は背理法を利用する。 (2)方程式+x+1=0の解をするとは虚数でww+1=0.ω=1 で ある あわせて (1) の証明結果を利用して余りを求める。 (1)(i) a+bz=0a=0かつb=0を証明する b=0 と仮定すると, a+bz=0 より z=- a ……………① となる. b だから ここで,a,bは実数より も実数 とは よって, a=0 | 2004 3×668 ω=1 が利用でき るように変形する 通分する a+bz=0 q=0 かつ b=0 以上より, a=0 かつ b=0 このようなときは なっ 実数 (9)9 与式に代入できるよ うな2種類の変形を 行う. しかし、2は虚数であるから、①の成立には矛盾がある。 b=0 b=0 を a+bz=0 に代入すると したがって, a, b が実数, z が虚数のとき. よくいくとは限らな a+bz=0は明らかに成り立つ が虚数のとき a+bz=0a=0 / b=0= (2)x+2x3+3x²+5x-1 を2次式x'+x+1で割ったときの商をQ(x),余り 1次以下の多項式mx+n(m,nは実数) とすると,(土)1 x+2x'+3x²+5x-1 = (x2+x+1)Q(x)+mx+n .....① 方程式 x'+x+1=0の解をωとすると, ω は虚数で。。 ω'+w+1=0である。 ①の両辺にx=w を代入すると, +2ω°+3ω°+5ω-1=(ω^+w+1)Q(ω)+mw+n ここでω-1=(ω-1) (ω'+ω+1)=0 より また, =1 e=e=e④しいにきたから、今はどの ω'+w+1=0 より ω=-ω-1 ...... ⑤ ずは (w+1)24-1 考える. -1は奇数より 2-1-1 を使えるよう よって、②は,③~⑤より, - を分ける. で整理すると, (n+2)+(m-3)w=0 17+18 とする. 練習 2 3 第2章 w+2×1+3(-w-1)+5w-1=mw+n ここで,m,nは実数であるから, n+2m-3も実数, また, は虚数 したがって,(1)の結果から, n+2=0,m-3=0 つまり、 m=3.n=-2 報によって、 求める余りは, 3x-2 (1)x100-1 を x'+x+1で割ったときの余りを求めよ. 56 (2)x+ax+bx+cx-1で割り切れるとき,実数a,b,c の値を求めよ. *****

高次方程式に関して、紫で囲ったところについての質問です。まず、各項とも3次以上であると書かれているのですが、項は一つしかないと思います。どれらの項のことを各項と言っているのですか？また2次以下の項の係数を比較してとあるのですが、三次以上の項を無視できるのは、②の式がt(x)... 続きを読む

116 第2章 高次方程式 Think 例題 54 剰余の定理(2) [考え方 解答 **** (1)nを3以上の自然数とする.x" -1 を (x-1)3で割ったときの余り を求めよ. (2)x2+x15 +1 を x+1で割ったときの余りを求めよ. (1)x1=(x-1) Q(x)+ax²+bx+c このままでは何もできないので,x-1 が式変形でき ないか考える(x-1) に着目して, x-1 =t とおく x1 =t とおくと, 二項定理が利用できる. (二項定理については, p.21参照) (2)x=iで x2+1=0 となる. 実数係数の多項式の割り算での余りは実数係数の多 式である。 (1)3次式(x-1)で割ったときの商をQ(x) とすると,余りは 2次以下の多項式であるから、余りはax+bx+c とおける よって、 (t+1)-1=fQ(t+1)+α(t+1)+6(t+1)+c ...... ② 3次式で割るの で、余りは2次 以下の多項 解 Comme 1の の解で つまり この とす x-1 =t とおくと, x=t+1 より ①は, x-1=(x-1)2Q(x)+ax²+bx+c ②の左辺に二項定理を利用すると, (左辺)=,Cat+mCt' "Cat+„Caf'+nCit+"Co-1 =,Cat*+,C, "'++,Cf+n(n-1)t 2+nt ③ 2 C22 C=n n(n-1) n Co=1 また、②の(右辺)=Q(++1)+of+ (2a+b)t+a+b+c 多項式・Q(t+1)は各項とも3次以上である. ③④の2次以下の項の係数を比較して, ④4) とな a n(n-1) a= 2a+b=n,a+b+c=0 2 これらから a=- _n(n-1) b=-(n-2n),c=- n2-3n 余りは2次以 なので2次以下 の項のみに着目 する。 れる d 2 2 練習 よって, 求める余りは, n(n-1)x-(n²-2n)x+ 2 n²-3n 2 (2)2次式x+1で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとおく . x2 + x15+1=(x2+1)Q(x)+ax + b(a,bは実数) が成り立つ. これは恒等式であるから,両辺に x=i を代入すると, 1+1+1=(i+1)Q(i) + ai + b ... ① i=-1,=(i) =1, i=(i).i=-i より ① は, 2-i=b+ai となる. a b は実数であるから, よって、求める余りは, 注)微分法(第6章) を学習すると *** (6) *****, 54 **** a=-1,b=2 x+2 余りは1次以下 の多項式 =√-1 複素数の相等よ り 辺を微分した式も恒等式であることから,a,b,cの値を容易に求められる. xの恒等式 x-1=(x-1)Q(x)+ax²+bx+cの両 (1)を2以上の自然数とする.x" を (x-2)2で割ったときの余りを求めよ。 (2)2x'+x+1 を (x+1)(x-1)で割ったときの余りを求めよ. を

赤で囲んだ式の意味がよくわかりません。教えてください。

228 多項式P(x) を x-1で割ると2余り, x2+x+2で割ると-3x+1余るとき, P(x) を (x-1)(x2+x+2) で割ったときの余りを求めよ。

三角関数の最大値・最小値の問題です。 sinθの値は-1≦sinθ≦1だと思うのですが、なぜこの問題は0≦sinθ≦1となっているのでしょうか？ 説明できる方お願いします(><)

例題98 最大値・最小値 関数 y=sin20-sin (0≦)の最大値・最小値を求めよ。 1>0] (8)0 > nie (SB) tan POINT 三角関数の最大値・最小値 機 sin0の2次式の最大・最小 sin 0=xと置き sin0 の2次式の最大・最小問題では sin 0 を x とおいて, 2次関数の最 題にもち込む。 このとき, xの変域に注意。 解答 y=sin20-sin0で, sin0=xとおくと まえる 1\2 1 y=x-x=x- ・① 円 2次関数のコ 2, 4 1 は、式を基 だから 0≤sin 0≤1 石。 すなわち 0≤x≤1 YA この範囲で①のグラフは右図の y=x²-x ようになるから,yはx=1/2のと 1-2- ②頂点の にあるか とる。 き最小値- をとり, x=0, 1 4 のとき最大値0 をとる ここで, x=sin A 10=1/2のとき 0匹 5 6'6 π r=sin0=0,1のとき π 0=0, 2' よっては π ③グラフ れば最 1y4 π _5_ 21 2 x=1 56 1 -11 0 12 -x= x=0 T1 6 ④問題で られて I この前 ように

(1)(2)を教えてください (1)についてはなぜD=0だったら完全平方数ですか？ (2)は解説見ても理解できません お願いします🙇

124 第2章 2次関数 例題 56 完全平方式 文 **** (1)( )で表される式を完全平方式という.xの2次式 +2ax+a+6 が完全平方式となるように, 定数 αの値を定め、 完 全平方式で表せの値を求めよ (2)xxy-2y2+5x+αy+6 x, yの1次式の積となるように,定 数αの値を定め, 因数分解せよ. es o (11

この問題の(1)がわかりません。解答の過程を教えてください！！お願いします

練習 18 次の2次式を、複素数の範囲で因数分解せよ。 (1) 12.x²+x-6 4-2658 2X3 12 (2) x2+4.x+1 (3) 42-4.+3

演習9(3)の解説が始まる前の文章に「分母がnの1次式で探せばよい」とありますが、なぜ2次式ではなくて1字式なのでしょうか。

an+1+(n+ よって, an+n+1=2"-1 (a,+1+1)=3.2-1 ∴an=3.2"-1-n-1 (2) an+1=44-2 +1 を 4n+1で割って, an+1 an 4n+1 4" -(/)+1 an bm == b=3, とおくと, b1=441=1,bm+1=0,-(1/2)"となるので,n≧2のとき, n-1 bm n-1 k=1 bn=b₁+ (br+ - br) = 1 − ( )*()* \k+1 =1- 【(2) f( を問目 2 =1/12/11-(1/2)^2}=1/2+(1/2)(n=1のときもこれでよい) よって, an=4b64"{/12+(1/2)"} =2.4"-1+2" = 【別解】 (2) an+1+A・2n+1=4 (an+A・2") を満たす A を求める. an+1=4an+4A2"-A2n+1=4a+A2"+1 と条件式を比べて, A= -1. Qn+1-2n+1=4(an-2")より, {am-2"}は公比4の等比数列. よって, an-2"=4"-1 (α1-21)=2.4n-1 ..an=2.4"-1+2" 9 演習題(解答は p.75) Cn こ 次の式で定められる数列の一般項 an を求めよ. - (1) a1=2, an+1=3an+2n²-2n-1 (n≥1) - - (2) α=1, an+1-2am=n.2n+1 (n≧1) (岐阜 (日本獣医畜産 + (3) a1= 1, an+1= 1 n-1 zan+n(n+1) (n≧1) ( 岐阜大・教 64 項 (+212)

高1のニ次不等式です.ᐟ なぜ場合分けするんですか？ ニ次不等式の問題って場合分けしたりしなかったりしますけどその違いは何ですか？

(2)* 関数 y=mx2+4x+m-3において,yの値が常に D= 164 m. (m3) = 16-4m² + 12m -4m' + 12m + 16 -4m² + 12 +1670 - m² + 3 m + 4 > 0 ,-1,4 m² - 3m - 4 < 0 (m+1)(m- 4)<0 m<-1 Xeme -X. <