96の問題についてです。 解説の棒線をひいたところがわかりません。なぜそうなるのでしょうか？

96 X18 3次関数 f(x) 次の2つの条件を満たすという。 f(x) を求めよ。 f(x) lim =3, f(x) lim -=-1 x→0 x x→1x-1

なぜこの断りが必要なのですか？

ですか 198 412 グラ 32 基本 例題 198 方程式の実数解の個数 f(x) = (定数)に変形 logx. ただし, lim =0を用いてもよい。 p.326 基本事項 2 重要 197 x 第 y αは定数とする。 方程式 ax=210g x+log3 の実数解の個数について調べよ 00000 指針▷ 直線 y=ax と y=2logx+log3 のグラフの共有点の個数を調べれ ばよいわけであるが,特に, 文字係数αを含むときは,αを分離し f(x) =αの形に変形して考えるとよい。 このように考えると, y=f(x) [固定した曲線] と y=a[x 軸に 平行に動く直線] の共有点の個数を調べる)ことになる。 [CHART 実数解の個数グラフの共有点の個数 定数αの入った方程式 定数αを分離する 解答 真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は この断りを忘れずに。 2logx+log3 =αと同値。 f(x)= 2logx+log3 とすると x x 定数αを分離。 f'(x)=2 2-(2logx+log3) _ 2-(logx²+log 3) 2-log3x² = XC x² x² f'(x) = 0 とすると,x>0であ e 「とき ・正のとき るから x= x = 1/3 √3 ーのと x>0における増減表は右のよ うになる。 また limf(x)=-∞, limf(x) = 0 x+0 x→∞ y=f(x) のグラフは右図のように なり, 実数解の個数はグラフと 直線y=αの共有点の個数に一致 するから <αのとき0個; x 0 f'(x) f(x) YA 2√3 e 2√3 e 2√3 |y=f(x) a≤0, a= のとき1個; e 2√3 0<a< のとき2個 e + e /3 20 極大 2√3 e 10g3x2=2から 3x²=e² 0であるから x= √ x→ +0のとき x →∞, logx → →∞のとき logx x →0. 1 1x y=a [参考 ロピタルの定 logx lim =lim X

赤い()のところで、なぜ-∞になるんですか？

32 基本 例題 198 方程式の実数解の個数 f(x)=(定数)に変形 00000 αは定数とする。 方程式 ax=210gx +log3 の実数解の個数について調べよ。 logx. ただし, lim =0を用いてもよい。 p.326 基本事項 ② 重要 197 重要 199 x 第8 JA 指 指針▷ 直線 y=ax と y = 2logx+log3 のグラフの共有点の個数を調べれ ばよいわけであるが,特に, 文字係数 αを含むときは,αを分離し f(x) =αの形に変形して考えるとよい。 このように考えると,y=f(x) [固定した曲線] とy=a[x軸に 平行に動く直線] の共有点の個数を調べる ( ) ことになる。 y=f(x) [CHART 実数解の個数グラフの共有点の個数 定数αの入った方程式 定数 αを分離する 解答 真数条件より,x>0であるから,与えられた方程式は この断りを忘れずに。 2logx+log3 2logx+log 3 =αと同値。 f(x)= とすると 定数αを分離。 XC x ƒ'(x)= 2−(2logx+log 3) _ 2−(logx²+log 3) x² f'(x) = 0 とすると,x>0であ e るから x= √3 x>0における増減表は右のよ うになる。 また limf(x)=-∞, limf(x)=0 XC + 2-log 3x² 110g3x2=2から x2 3x2=2 e x 0 f'(x) f(x) 7 2√3 e x+0 x→∞ y=f(x) のグラフは右図のように なり,実数解の個数はグラフと YA 2√3 e x>0であるから /3 0 極大 x→ +0のとき 10 x →∞, logx→-8 x→∞のとき e x= 2√3 直線y=aの共有点の個数に一致 するから <αのとき0個; e 0 x e y=a 2√3 |y=f(x) a≤0, a= のとき1個; e 2√3 0<a< のとき2個 e logx →0. 0 x x [参考] ロピタルの定理から lim 8 logx x =lim

数Ⅲの問題です。この問題について、x=0で連続かどうか求める過程において絶対値が出てくるののはなぜですか？いきなり答えにもっていっちゃだめなんでしょうか。訳わからない質問ですみません

例題 62 連続と微分可能 **** 関数 f(x) ={ Ax)=x'sin xsin=(x≠0) は. x=0 で連続か. また, x=0 で (x=0) 微分可能か. 考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える. 〈 連続> <微分可能> f(x) が x=αで連続 f(x) がx=αで微分可能 ⇔limf(x)=f(a) f(ath)-f(a) ⇒ ƒ'(a)=lim² h が存在する このとき、「微分可能であれば連続」 であるが 「連続であっても、 微分可能とは限らな 「い」 ことに注意する. 0s|sinh|51, x>0 &D. 解答 x=0で 0≦sin- ≦1, x>0より orinox limx=0より.im|x°sin-1=0 1-0 したがって,limf(x)=limx'sin==0 r0 0 f(0)=0 より. limf(x)=f(0) となり 10 limf(x)=f(0) であるか確 0-5 かめて, x=0 で連続かど うか調べる. x>0より 各辺にx”を 掛けても、不等号の向きは 変わらない. 各辺をx0として極限 をとり, はさみうちの原理 関数f(x) は x=0 で連続である. を利用する.

x＝π/2のとき、f（x）＝【sin x】←ガウス記号です が連続か不連続か調べよという問題で、解説の⬜︎で囲んでるとこがわからないので教えてほしいです🙇‍♀️

=lim x0 arsin x cosx+1) 00 cos2x-1 =lim 1-0 axsin x(cosx+1) - sin2x - (2) lim |x| x→-1x また よって = lim -1 x = lim(-1)=- f(-1)=-1 →-1 limf(x)=f(-1)大量 02 x-1 も ス したがって, f(x) はx=-1で連続である。 -ax(cosx+1) =lim 0 sinx =lim x0 - —a(cosx+1) -a.2 -1 = -2a sinx −2a=1のとき ① が成り立つから a= =-1/26=0 (1) 右の図において ∠OPQ = ∠OPA I+=∠OAP+S x a= 1-2 (3) -1<x<0のとき, [x]=-1であるから limf(x)=-1 x-0 0<x<1のとき, [x] = 0 であるから limf(x) = 0 x+0 よって,x→0のときのf(x) の極限はない。 したがって,f(x)はx=0で不連続である。 TT (4) 0<x<, <x<¿à, 0<sinx<1 lim f(x) = limf(x) = 0 x→1+0 であるから [sin x]=0 したがって M P すなわち limf(x) = 0 30 KPQB 50μ また A 2- Q B 1)= =1 CPAQ + ∠APQ よって 9 *+8 limf(x) ≠f( 2 (1) x =0 011 001 01 ZOQP=π-30 PQに正弦定理を用いると, OP = 2 である OQ 2 sin 0 sin (π-30) したがって、f(x)はx=1で不連続である。

(2)(3)(4) よく解き方が分かりません😭 グラフを書いた時 同じ場所で ○と⚫︎ が重なっている場合それも連続になるんですか？？ 教えて頂けませんか

(x² (x ≤ 0) (2) f(x) = 23 (x > 0) limf(x) = limx2=0 x→0-0 x20-0 limf(x)=limμ=0 11010 X+O+O (3) f(x) = x + 1 (x ≤ 0) x-1 (x>0) from 連続でない 5 x²-4x-5 (x+8) x-5 (4) f(x) = (1(x = 5) (= x=5で連続?

次の極限値をa,f(a),f’(a)を用いて表す問題です。 解説お願いします！

10. 次の極限値を a, f(a), f' (a) を用いて表せ。 (1) lima+3h)-f(a) h-0 h (2) limfa+h)-f(a-h) 4-0 h

マーカーの部分で、 x→∞だと、x>1、0<1/x<1と考えていいのはなぜですか？ x→∞の時xの範囲が必ずこれになるんですか？

基本例題134 関数の極限 (4)… はさみうちの原理 0000 [3x] (1) lim 次の極限値を求めよ。ただし,[x] は x を超えない最大の整数を表す。 x1x Xx ¤¨ (2) lim(3*+5*)½ X11 p.218 基本事項 5, 基本 105 225 指針 極限が直接求めにくい場合は、はさみうちの原理 (p.218 ⑤5 2)の利用を考える。 (1)n≦x<n+1(n は整数) のとき [x]=n すなわち [x]≦x<[x]+1 この式を利用して f(x) ≦ [3x]≦g(x) よって [3x]3x < [3x]+1 x (ただしlimf(x)=limg(x)) となるf(x), g(x) を作り出す。なお、記号[ ]は ガウ ス記号という。 (2)底が最大の項 5 でくくり出す (^{(2x)+112=5{(1/2)+1/+ (12/3)の極限と{(12/3)+1} の極限を同時に考えていくのは複雑である。 そこで、はさ 4 1 B みうちの原理を利用する。 x→∞であるから,x>1 すなわち 0 <1と考えてよい。 CHART 求めにくい極限 不等式利用ではさみうち 解答 (1)不等式 [3x]≧3x< [3x]+1が成り立つ。x>0のとき,各辺 [3x] [3x] 1 x .. をxで割ると ≤3< + x ここで, x から 3- [3x] 3-1[3x] XC ≤3 x x [3x] =3 81X x 3< x はさみうちの原理 f(x)≦h(x)≦g(x) で limf(x)=limg(x)=a ならば limh(x)=a [3x] 13x1+1/2カ lim (3-1)=3であるから lim X11 1 1 mil-nfe (2) (3*+5)=(5* {(3)*+1}] *=5{(3)*+1}* x→∞であるから,x>1,0<<1と考えてよい。 このとき XC 底が最大の項5でくくり 出す。 mil {(1/2)+1}{(1/2)+1}^{(1/2)+1…(*) 4>1のとき,a<bならば (g)+1={(号)+1}^{(1/2)+1} すなわち1<{(1/2)+1}* <(2/2)+ 1< {( 3 ) * +1} * < ( 3 ) * +1 °°である。 2.200 (213) +1>1であるから, 1 lim (13)+1}=1であるから /31 (*)が成り立つ。 lim +1}^=1 81X フェ よって 135 lim (3*+5*) * = lim 5{( 3 )*+1} *=5.1=5 x→∞

極限の問題なのですがf（x）－2x^＋3=ax^2＋bx＋Ccと置くのは不可ですか？教えて頂きたいです。

EX 3次関数 f(x) が lim f(x)-2x3+3 x→∞ x2 =4, lim f(x)-5 ¥99 x→0 x =3を満たすとき, f(x) を求めよ。 f(x)-2x3+3 極限値 lim x2 x→∞ X 800 が存在するから,f(x) -2x3 は2次 4 2次式以下でないと になってしまう 愛知大 以下の整式である。 200 x8809 mit したがって f(x)-2x3=ax2+bx+c たぬ 200 il (1) すなわち f(x)=2x3+ax2+bx+c niaxAni 81X この よって, 条件から a=4 ゆえに 条件 lim f(x)-53から lim{f(x)-5}=0 x→0 x x→0 よって c-5=0 したがって c=5 ゆえに f(x)-5 このとき lim f(x)=2x3+4x2+bx+5 =lim (2x2+4x+b)=b x→0 x x→0 条件から 以上により b=3 f(x)=2x3+4x2+3x+5 1063 limf(x)-2x'+3=lim(a+1/x+c+2)=0 f(x)=2x3+4x2+bx+c とおける b 1 ←lim x8x ←lim 81X から。 X00+x 2 = =0 f(x)-2x3+3 x2 ←lim (分子) = 0 x→0 =4 =lim- ←lim x-0 XC f(x)-5=3から。

なぜxの範囲をこのように仮定するのですか？

基本 例題 43 関数の連続・不連続 00000 次の関数 f(x) が, x=0 で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし, [x] (ガウス記号) は実数x を超えない最大の整数を表す。 (1) f(x)=x3 (3) f(x)=[cosx] (S) (2) f(x)=x2 (x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6