Ⅲ-1(1)~(4) Ⅲ-2(1)~(3) を教えてください

III. 強さの定常電流が作る磁場は、次のビオサバールの法則で与えられる。 点Sのまわりのds 部分を流れる電流が点Pに作る磁場dH は、 I ds x r' 4 3 (1) で与えられる。ここで、 r'はSからPに向かうベクトルSP､ r' = r 。 下の左図参照。 dH = I S ds III-1. 強さの無限直線定常電流が軸上を、軸の正の向きに流れている場合を考える。 上の左図。 円筒座標系において、点Pの円筒座標を(p, 中, z) とし、 その点での規格化された 基底ベクトルを eps epiez とする。 円筒座標 (p,d,z) の点Pに作られる磁場H (p, 中, z) は、ed の向きであり、磁場のe。 成分, Ho は pのみに依存する、 すなわち H(p,d,z) = Hs (p)eΦ と表すことができることを以下の手順 (1)-(3) で示せ。 (2) (1) 軸上の点Pに作られる磁場を求める。 点Pの座標を(x,0,0) とする。 軸上の点S のまわりのds部分を流れる電流が点Pに作る磁場の向きをその理由とともに答えよ｡ (2) 次に、点Pがzy平面上、軸からの距離がpの位置にあるとする。 このとき、円筒 座標を用いて点Pの座標が (p,p,0) であるとする。 軸上の点Sのまわりのds 部分 を流れる電流が点Pに作る磁場の向きをその理由とともに答えよ。 また、磁場の大き さがpのみに依存し、中に依存しないことを示せ。 (3) 最後に、 点Pが円筒座標 (p,d,z), ≠0の位置にあるとする。軸上の点Sのまわり のds 部分を流れる電流が点Pに作る磁場の向きをその理由とともに答えよ。 また、 磁場の大きさがpのみに依存し、 中zに依存しないことを示せ。 (4) 磁場をH, 電流密度をżとしたとき, マックスウェルの方程式の一つは, V x H = i (3) で与えられる。 マックスウェルの方程式 (3) を用い, さらにストークスの定理を適用 して、円筒座標 (p, 中, z), (p > 0) の点Pにおける磁場のe 成分, H を求めよ。 III-2. 次に、 上の右図のように、 無限に長い円筒に強さの定常電流が流れている場合を考 える。ここで、円筒の断面は半径aの円であるとする。 円筒の中心軸を軸とする。 円筒に は強さの定常電流が軸の正の向きに, 円筒内を一様に流れているとする. (1) III-1 の結果を利用して、 円筒座標 (p, Φ, z) の点Pに作られる磁場 H (p, 中, z) は、 ed の向きを向くことを示せ。 また、 磁場のed 成分, H は p のみに依存することを示せ。 即 ち、この場合も磁場は式 (2) のように表すことができる。 (2) 円筒領域p<α及び円筒外の領域p>αにおいて、電流密度の大きさ i = i を求め (3) マックスウェルの方程式 (3) を用い, さらにストークスの定理を適用して,次の領域 における磁場のe」 成分, H を求めよ。 (a) p<a, (b) p> a

ドブロイ波長についてなんですが 波長の整数倍nと量子数nが一致する理由ってありますか？

標準問題 子の速さを1,真空のクーロンの法則の比例定数を ko とすると, 軌道半径rはe, m, ko, v との間にはたらく静電気力を向心力として, 等速円運動をしていると考える。このときの電 を用いてア=ア] と表せる。 軌道の周の長さ 2πrは, 量子条件より, 正の整数(量子数) 20原 124 A) 必147.〈水素原子モデル〉 次の文中の「ア]から「カに適切な数式や数値を入れよ。 ボーアは水素原子の構造に関する次のようなモデルを提唱した。 n, プランク定数hおよびm, uを用いて, 2πr=_イ」と表せる。この式は,ド·プロイに よって物質波の考えが導入されて以降,「2πrが定常状態の電子の波長(ド· プロイ波長)の 整数倍である」と考えられるようになった。これらの関係から, 量子数nの定常状態の軌道 半径r,はe, m, ko, h, n, π を用いて, グカ=ウ」と表すことができる。n番目の定常状 態にある軌道上の電子の全エネルギー Enは, 電子の運動エネルギーと,静電気力による位 置エネルギー(無限遠を基準とする)の和より, e, m, ko, h, n, π を用いて, En=エ と表される。このように, ボーアは水素原子の中で定常状態にある電子は,とびとびのエネ ルギー準位をもつという仮説をたてた。 ボーアの水素原子モデルにおいて, 電子が n=1 の定常状態にあるときを基底状態, n>2 の定常状態にあるときを励起状態という。量子数nの励起状態にある電子は,きわめて短い 時間で量子数n'("'<n)の状態に移り,その差のエネルギーを光子として放出する。このと き,放出される光子の波長入は振動数条件から, 真空中の光の速さcおよび e, m, ko, h, n, n', π を用いて, ー%=Dオ]と表される。 水素原子の示す線スペクトルの観測結果から得られた輝線の波長入は,リュードベリ定数 Rを用いてー=Rー)の規則性をもつことが示されていた。 ボーアの水素原子モデ ルによるリュードベリ定数の計算結果は, すでに知られていたリュードベリ定数の値と高い 精度で一致し,水素原子のスペクトルを理論的に説明することに成功した。リュードベリ定 数 R=1.1×10'/m とすると, 水素原子の線スペクトルのうち, 可視光線領域 (3.8~7.8×10-7m)の輝線群の2番目に長い波長は, 有効数字2桁でカ 1 1 2 n Im と計算できる。 [20 九州工大 改]

大学1年の物理の問題です。この問題の考え方を教えて欲しいです。 粒子のエネルギー準位の式を使って解けばいいことは分かったのですが、 (nx,ny,nz)がなにを表しているのかがいまいちよく分からないです。 第二励起状態は主量子数nは3だから…？となってしまい、知識の整理が... 続きを読む

3次元の直方体の箱の中に質量mの粒子が1つ閉じ込められている量子力学系を考える。直方体の辺の長さがそれぞ れa、a、aのとき、第2励起状態は何重に縮退しているか。

大学１年の物理について質問です。 主量子数についての認識がこれであっているかを教えていただきたいです。 ①主量子数ｎが1のときを基底状態といい、ｎ＝２，３、…のときを励起状態という。 ②特に第一励起状態はｎ＝2、第二励起状態はｎ＝3である。 この認識であって... 続きを読む

マーカーのa(k)はa_H(k)をあらためてa(k)と置いてるということですか？

Xしていく: p) == a'(p)|0), |p,p2) = a'(pi)a'(pa)|0), このようた 態全体は,個数演算子·運動量演算子(I.8節)の固有ベクトル系と」 場の演算子の時間発展を生成消滅演算子によって表現するために,ハイゼン 完全系を構成する.より詳しく言えば,{|0), Ip.…pn) }(n=1,2,.. は,基底として一つのヒルベルト空間(Hilbert space)を張ることにから 量子力学·場の量子論で重要な役割を果たすこの空間と基底は,それぞ。 フォック空間(Fock space),フォック基底(Fock basis)と呼ばれている 必要な手続きは以上だが,上記 (3) には重要な事実が含まれている.すなに ち、{|0), Ip…p,)} が完全系ということは, 任意の物理的状態 ) が n -/IFk, |k,… k,) (ks… k,) (II.31) n=1 =1 と展開できるということである.この展開式は, 「多体系の量子力学と場の量子 論の同等性」も示している.つまり, 右辺の展開係数 (p,.…P,)は, n粒子 系の(運動量表示) 波動関数に他ならず, 従って, )による状態の「場の量子 論的な記述」は,1粒子波動関数, 2粒子波動関数, の総体による「量子力 学的な記述」と同等という訳である。 I.6 場の演算子の時間発展 る ベルク描像に移行しよう. このときゅは 中日(x, t) = e(-o) do(2)e-iH(t-to)

どのように解いているんでしょうか？ 行列で考えたのですが、よくわかりません

そのような極大オブザーバブルたちが存在したとして,それらに対応する測 の基底を n と表します。これらが定める平面をそれぞれP(") とします。 状態を表す密度作用素のゼロ·トレース部分をw°e Dens° とすると, 極大才 ブザーバブルの多数回測定によって, n (0go)- (i=D 1,2,…, n;r=1,2, ,n+1) =m n がえられます。 w° の平面 p(r)上への直交射影成分を n-1 :三 =1 とおきます。すると, 連立方程式 w° 三 三 F n-1 -と(()())。 j=1 =3- n がえられます。 解くことができて, n-1 ) = + と, (i%=D1,2, ,n-1) j=1 と求まります。

テンソル積の記号っていりますか？

と書けます。(i,) や (k, 1) などの添字のペアが, nin2 個の正規直交基底の番号付 =1 は混合状態にあります。 全体が純粋状態にあっても,部分系は混合状態に、! の割合で混合したもので, 密度作用素では Wi=)(4)°W。。 =1 と表されます。 これは何をしたことになっているかというと,簡約密度作用素というもの。 めたことになっています。 一般には次のように定義されています。 (定義)簡約密度作用素 合成系の状態がH1 & H2上の密度作用素 W にあるとする.部分系の任意のオブ ザーバブル OASle に対して m(OASk: W) = Tr (WiA) となるH1 上の密度作用素 Wi を部分系の簡約密度作用素という. ただし, m(OASb; W) は状態 W における OAsl, の平均値 Tr (W(A®12))のこと. 簡約密度作用素の具体的な求め方です. Hi ®H2 上の密度作用素W は, M1 n2 = 2Wijke(e, ® fj)(ek® fi) i,k=1j,l=1 W けをしているので, こんな形です. これの部分トレースをとります。 (定義)部分トレース H18H2上の線形作用素 A=E(a,®B)(86;)

マーカーのn²-1はどのようにわかりますか？

とと,エルミート性のかわりに, 対称性 (A, B)p = (B, A)F が成り立つことです。 実ベクトル空間の内積が複素ベクトル空間の内積と違う点は,実数値をとるこ が直接わかるわけではありません. ここでは量子トモグラフィー, つまり量子状 そのためには, いくつかの種類の測定をしなければなりません. どのような測 多数回測定によってわかるのは, あるオブザーパブルの平均値だけなので, 状態 状 態を決定することを考えます。 定を行えば量子状態を決定できるでしょうか。 ■ 4.1 密度作用素の空間 n次元複素ユークリッド·ベクトル空間H上の密度作用素全体のなす集合Dens の構造をもう少し考えてみます. 密度作用素はエルミート作用素なので, エルミー ト作用素全体のなす集合 Herm に目を向けてみましょう. Herm は実ベクトル空間です. 次元はn次のエルミート行列のパラメータの数を 数えればよくて,対角線にn個の実パラメータ,それ以外のところにn(n-1)/2個 の複素パラメータがあるので, n° 次元になります.さらに、実ベクトル空間 Herm に内積を定義しておきます。 (定義)エルミート作用素の内積 A, B をエルミート作用素とするとき, 内積( , )= : Herm × Herm → Kで (A, B)F = Tr(AB) と定義する。 また,第1スロット, 第2スロットの両方に関して実線形です。 ミ

量子力学・ハイゼンベルクの交換相互作用についての問題です。 参考書を参考に(あ)〜(え)まで解いてみたのですが、考え方はあっていますか？ また、(お)以降の解説をお願いします。ブロッホの定理やフーリエ変換はどのように効いてくるのでしょうか？

III. 以下の文章のあ き の枠内に当てはまる数式や記号を答えよ。 ヘ =1として,スピン角運動量1/2をもつ三つのスピンが,互いに相互作用している系を考え る。スピン演算子を$, S,, $, とすると,系のハミルトニアンは次のように与えられる。 自=-J(S, S+ S,. S。+ $。. S.), J>0. ここでも番目(;= 1,2,3) のスピンのz,9, z 方向成分をそれぞれ好,S, S とする。スピン演算 子の間には (S, SY] = iS}, [SF, SY] = 0などの交換関係が成り立つ、自) = E\d) を満たす。 固有エネルギーEとエネルギー固有状態|)を求めたい。 全スピン角運動量 Shot = $, + $2+S。を使うとハミルトニアンは次のように書き直すことが できる。 自= - + JC, 定数C= あ 'tot このことから基底状態のエネルギー固有値は 時の固有値は S= +1/2, -1/2 のニつであり,これらに相当する1スピン状態をそれぞれ↑。 ↓と記すと,3スピン状態は,|S{ S S3) = |M1),| t)などのように表すことができる。独 立な3スピン状態は全部で 具体的にエネルギー固有状態をあらわしてみよう。 まず基底状態のうちで Sto = St+ Sz + Sg が最大の状態は |S S; Sg) ちに書き下すことができる。 つぎにエネルギー固有状態のうちで Sie = 1/2 のものを求めたい,ハミルトニアンと交換可 能な演算子はハミルトニアンと同時固有状態をもつことを利用する.このような演算子の一つ にスピンをRIS; S; S) = |S; S; S;)のように巡回置換する演算子良がある。-iとなるこ とと,周期系におけるブロッホの定理やフーリエ変換を思い出すと,Rと St。と自の同時固有 状態は適切な定数A(複素数も含む)を用いて い である。 う 種類あり,規格直交基底をなす。にれらの線形結合の形で え のように直 三 る(「4)+A|)+ ^°| +t) V3 と表せることが分かる。Aの取り得る値をすべて列挙すると 底状態となるのは A- か 以上の結果からすでに二つ基底状態が得られた。残りの基底状態を列挙すると, お となる.このうちで,基 の場合である。 き と なる。

マーカーの箇所がどうしてこうなるのかがわからないです、

です。これから, V(t) に対するシュレーディンガー方程式の左辺は となります。共役をとる操作は共役線形なので, i=1 -Ar- U* = >(ea P.)* =Xe-tai P i=1 i=1 となります。すると, となのU*U = i=1 ーiai Pi e ei0s Pj e(a;-a) P,P, = elay-a) 5ig Pj = こn- 三 i,j=1 i,j=1 i=1 となり,ひはユニタリー作用素だとわかります。 (証明終) これから,H をハミルトニアンとして, U(t) := exp Ht とすると,U(t) はtERをパラメータとするユニタリー作用素です。 このユニタ リー作用素には,状態の時間をtだけ進める意味があります。 今,時刻0における 純粋アンサンブルの状態がo €eHだったとして, teRをパラメータとする状 態を 少(t):=D U(t)b) とします。Hのスペクトル分解を H=>E,B j=1 とすると、 U(t) = > -iEjt/hP; e j=1 なので, le-tEjt/hp, dt j=1