物理
大学生・専門学校生・社会人
量子力学・ハイゼンベルクの交換相互作用についての問題です。
参考書を参考に(あ)〜(え)まで解いてみたのですが、考え方はあっていますか？
また、(お)以降の解説をお願いします。ブロッホの定理やフーリエ変換はどのように効いてくるのでしょうか？
III. 以下の文章のあ
き
の枠内に当てはまる数式や記号を答えよ。
ヘ
=1として,スピン角運動量1/2をもつ三つのスピンが,互いに相互作用している系を考え
る。スピン演算子を$, S,, $, とすると,系のハミルトニアンは次のように与えられる。
自=-J(S, S+ S,. S。+ $。. S.),
J>0.
ここでも番目(;= 1,2,3) のスピンのz,9, z 方向成分をそれぞれ好,S, S とする。スピン演算
子の間には (S, SY] = iS}, [SF, SY] = 0などの交換関係が成り立つ、自) = E\d) を満たす。
固有エネルギーEとエネルギー固有状態|)を求めたい。
全スピン角運動量 Shot = $, + $2+S。を使うとハミルトニアンは次のように書き直すことが
できる。
自= - + JC,
定数C=
あ
'tot
このことから基底状態のエネルギー固有値は
時の固有値は S= +1/2, -1/2 のニつであり,これらに相当する1スピン状態をそれぞれ↑。
↓と記すと,3スピン状態は,|S{ S S3) = |M1),| t)などのように表すことができる。独
立な3スピン状態は全部で
具体的にエネルギー固有状態をあらわしてみよう。
まず基底状態のうちで Sto = St+ Sz + Sg が最大の状態は |S S; Sg)
ちに書き下すことができる。
つぎにエネルギー固有状態のうちで Sie = 1/2 のものを求めたい,ハミルトニアンと交換可
能な演算子はハミルトニアンと同時固有状態をもつことを利用する.このような演算子の一つ
にスピンをRIS; S; S) = |S; S; S;)のように巡回置換する演算子良がある。-iとなるこ
とと,周期系におけるブロッホの定理やフーリエ変換を思い出すと,Rと St。と自の同時固有
状態は適切な定数A(複素数も含む)を用いて
い
である。
う
種類あり,規格直交基底をなす。にれらの線形結合の形で
え
のように直
三
る(「4)+A|)+ ^°| +t)
V3
と表せることが分かる。Aの取り得る値をすべて列挙すると
底状態となるのは A- か
以上の結果からすでに二つ基底状態が得られた。残りの基底状態を列挙すると,
お
となる.このうちで,基
の場合である。
き
と
なる。
2
1
I
+2
ニ
+st
- ;。 2(i,、島,-島)
3+2(5+ぶ 8.)
$,+ふ+
よって
J
フ0t
2
子
2
2
(あ)
危成スセン 1番項員のとき非底状態 Stoy 0 大りハのとの
エネルギー回有値)2
(us
る対立な3スピン状態っは
1111>
→ 1111>, 1141>, 1411>
3
Stot
2
Spit = t
計 午種類
(う)
S s,f - 土+の で最大
Sf+ S +
ニ
このとき
158 S sS>:
1171>
(え)
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