Question

きぃに

‪ある無限数列a_iについて、
‬
‪∀i∈Nで a_i∈N‬、
‪∀i,j∈Nで i≠j⇒a_i≠a_j‬
‪がわかってる時、‬

‪∀n∈N,∃i∈N s.t. a_i=n‬
‪は言えますか？‬

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Crystal Clear

言えません.
反例:‪a_n=n+1 for ∀n‬∈N‬ のときa_i=1なるiは存在しない.

これは数列をNからNへの写像と考えると、単射のとき全射になるか、という問いになるので正しくないだろうとわかります.
ただし有限集合SからSへの写像の場合、全射と単射は同値になります.これは有限集合だと要素の数を数える議論ができるからです.
https://math.stackexchange.com/questions/63072/surjectivity-implies-injectivity-and-conversely

きぃに

無限集合になると有限集合のように扱うことは出来ないんですね。ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスというのを知って、無限集合は直感に反する性質を持ってるのだなぁと感じました。

この命題を 単射⇒全射 のような形で言い換えられるのも全然知らなかったのでとても勉強になりました。ありがとうございました！