Question

ゲスト

複素関数の問題です
誰かわかる方いますか？🥺

(2) 次の穂分を手順に従って計算せよ。
⑨

 

rdの
。 neg (%>り

ge② = zとおくとき、
9 cosのをヶを使って表せ。 ] 積分経路

2のをヶを使って表せ。
@) 式 (3) をZを使って [… ]dzの形で表せ。ただし、曲線 /は図 1 に示す経路をもつ。

d⑪ 間 (c) で求めた盾稿分関数の上措を求めよ (このとき積分絶囲に注意すること)。
@) この披策分関数の留数を計算せよ。

了) 以上の結果を用いて式 (3)の積分を求めよ。

複素関数論 留数

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

こんな感じです。

Crystal Clear

横からすみません.
経路C1での積分値(主値)が気になったので計算したら0でした.これは計算しなくてもわかることなのでしょうか？
また、C1上の極αをCの内部に含ませるためにさらに微小半円経路C3が必要なので、答えはこれの1/2になると思います.

哲治

コサインは偶関数だから経路C1での積分はゼロと思いました。

Crystal Clear

C1で積分することになるのは-2i/(z^2+2kz+1)だと思います.

哲治

Zを実数とみて[-1,1]で積分したぶんを足しあわせる必要がありますかね？

哲治

半円形の場合は留数定理は使えないのですか？
僕もまだ初学者ですのでよろしければ教えていただきたいです。

Crystal Clear

C1上には極があって積分できないので、迂回経路C3を用意するのですが、こいつは0極限でも半分の留数として振る舞います。
また、C1'はコーシーの主値です。

哲治

なるほど。求めたいのはC2部分だけで、僕が留数定理で出したのは１周積分の値だったのですね！

哲治

丁寧にありがとうございました。

ゲスト

御二方ともありがとうございました！
助かりました！