✨ ベストアンサー ✨
漸化式は、等差型か等比型か階差型のいずれかに帰着させて解きます。
解法2の解き方は等比型に帰着させる方法です。
そのために作りたい形は
bn+1 = α bn ←公比α 初項b1 の等比数列
よって
an+1 + f(n+1) = α ( an + f(n) ) •••①
です。
ここで重要なのは、右辺はnに関する式のp倍
左辺はn+1に関する式 で
全く同じ形でなければいけません。
an+1 + 2^(n-1) = 2(an + 2^(n-1))•••②
質問者さんの回答での間違いは、nの冪乗を定数とみなしたことです。
どういうことかというと
例題292の場合の漸化式は
nについての一次式で表されていました。
しかしその一方で、
an+1 - 2an = 2^(n-1)
という漸化式の2^(n-1)という項はnについての指数式になっています。
②は右の式のnをn+1にするとan+1 + 2^n となり
左の式と一致しません。
つまり、f(n)=pn+q とおいても表せません。次元が違うからです。
そこで、解決策として
f(n)=(pn+q) 2^(n-1) とおくことを提案します。
なぜそうおくのかというと、天下り的にそうおけば解けるからとしかいえません。実際、この解き方自体が天下り的なものなので仕方ありません。
①の式でα=2,
f(n)=(pn+q) 2^(n-1) ,
f(n+1)=(p(n+1) +q) 2^nとおいて
解くと、
p=-1/2となります。
qは消えてしまうので、不定、よってq=0とします。
よって、an+f(n),つまり、an - 1/2 n 2^(n-1) が等比数列
したがって、an - 1/2 n 2^(n-1)=2^(n-1) ×(a1 -1/2)
=2^(n-1)× 1/2
=2^(n-2)
移項して、an=2^(n-2) (n+1)
なるほど！
とても詳しい説明ありがとうございます！
スッキリしました!!