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こんにちは。
①は「立ち聞きせ／させよ」
「立ち聞きせ」＝サ変動詞「立ち聞きす」未然形→(訳)立ち聞きする
「させよ」＝使役の助動詞「さす」命令形→(訳)～させろ
したがって「立ち聞きさせろ」と訳せます。
解答ではもう少し柔らかい表現として
「させてくれ」としたのでしょう。
また、「立ち聞き／せ」と考えてもよいかと思いますが、訳は変わりません。
②の「せ」は、
むしろ直後に「給ふ」という尊敬語を伴うことから、
まず尊敬の意味ではと考えます。
しかしフローさんの仰る通り、
文中に使役の対象があり「～に～させる」の意味になるならば使役です。
ここでは文中に「東宮に」とあり、
確かに紛らわしいところです。
ですが、「立つ」には「即位する」の訳があり（解答では「立つ」のままですが）、
「東宮（皇太子）に即位する」の意味になります。
このとき、「東宮（に）」は何かをさせる使役の対象ではありません。
この短文では誰かはわかりませんが、
その人物自身が皇太子に即位した（なさった）わけです。
したがって「せ」は使役ではなく、尊敬と判断します。
