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問題によります。
まず、xの二次式は
二次方程式としてみるか、
二次関数としてみるか、
という二通りの見方があります。
二次方程式としてみるとき
基本的には解を求める問題がほとんどです。
解を求めるためには、因数分解しようとしますね。
因数分解できない時には解の公式を使います。
この解の公式は、本質的には平方完成と同値です。
つまり、二次方程式においては、
因数分解を優先し、だめだったら解の公式（平方完成）を使います。
一方、二次関数としてみるとき、
基本的にはグラフを書く問題がほとんどです。
（直接グラフを書かせる問題でなくても、関数はグラフが基本です。）
グラフを書く時に何を求めますか？
x切片、y切片、頂点ですね
y切片は簡単です。x=0を代入するだけ
x切片を求める時にはy=0を代入して
二次方程式を解きます。
つまり、先ほど説明した通り、因数分解か解の公式。
最後に頂点を求める時は
平方完成します。
以上が二次式の全てです。
それでは
x^2-2ax+a+3>0 のとき、どうしたら良いかという質問に答えます。二次不等式は方程式的にも関数的にもみれます。
もし、aが定数で、xについて解きなさいという問題だった場合は、方程式を解くこととほとんど変わらないので、因数分解を優先し、できない時は平方完成か解の方程式を使う。
もし、aが変数で、すべてのxで不等式が成り立つための条件を求めよという問題だったら、関数としてみると、頂点がx軸より上にあれば条件を満たすので、平方完成します。平方完成は二乗を作る作業で、<実数の二乗は正>という強力な性質を使えるので、そこから発想することもできます。
