✨ ベストアンサー ✨
赤線部から下の解答に続く際に必要充分性が失われています
x,x^2は線形独立なので
∀x,ax+bx^2=0⇔a=b=0
が成立します
xもx²もただの値のように見えますが、ベクトルとしてみなせば線形独立だって言えるということですか？
実はどうしてxとx²は線形独立でxとyは線形独立じゃないのかもちょっとわからないんですが。考え方としてはなんですか？
x,x^2も関数空間上でのベクトルで,線形独立になります.(この議論を発展させたもので,一般の関数を関数空間上の基底で展開するテイラー展開なる手法があります.)x,yについてですが,これらは関数空間上では異なる基底となるのでそのままでは線形独立性は議論できません.ところが,問題文の条件2x+y=0を用いれば関数yは基底xを用いて展開することができます.すると条件
(3a+5b-23)x=0が出てきて,解答に必要な情報が得られます.
説明ありがとうございます！
xとx²はなんで(関数空間上のめベクトルですか？わたしの考えではxとx²は線形独立だからベクトルとして考えることができるんですが。でもなんで線形独立なのかはわかりませんね。k1*x+k2*x²=0と置いて証明しようとしましたが、ちょっとわからなかったです。
x, yは基底が異なるんですね。変数も加えられると基底という概念がちょっとわからなくなった気がします。xの基底はxで、yの基底はyですか？基底が異なるなら同じのに直せば線形独立性は議論できる気がします。でもx, yを同じ基底に直せないから議論できないということでしょうか。なぜかと言うとxとyは変数だから、基底を1にして、長さをxとyとすると長さが変数になるからできないからだと思います。あってますか？
2x+y=0を使って代入すれば解答が得られるのはわたしも気づきました！
関数空間を扱うことは初等的な線形代数の枠を超えてしまいます.(正確には関数空間上の一組の基底として{x,x^2,x^3,•••}を取ることが出来ます.基底が可算無限個あるので無限次元の線形代数が必要であり,これは函数解析と呼ばれる分野での議論が必要です.当然基底の取り方は一通りではなく,他の基底として{y,y^2,y^3,•••}などと取ることが出来ます.記号が違えば普通異なる基底として捉えます.)加えて,本来純粋なベクトル空間には長さという概念(ノルムと呼ぶ)は備わっていません.(そのため線形独立性は長さを通さず定義する必要があります.)高校で学習する様な’ベクトル’は長さや向き,内積等の構造を持っていますがこれを扱うには色々手を付け加える必要がありますが,これまた初等的な線形代数では無視されることが多いです.
なるほど…。複雑そうですね。多分今のわたしにはこんなに深く考える必要はないかもしれないです。まずそのまま覚えておきましょうか！
回答ありがとうございます。
はい、必要十分性が失われたようです。でも例えば(6a-10)x²+(18b-5)x=0だったら係数比較は大丈夫ですよね。その理由はなんでしょうか。