ぱっと思いついたのは、
cos(π/5) + cos(2π/5) + cos(3π/5) + cos(4π/5) = 0
であることを利用する方法でしょうか。x = cos(π/5)とおくと2倍角、3倍角の公式を用いて式変形できて、
4x^4 + 2x^3 - 3x^2 - x = 0
という4次方程式が得られます。これを解くと、x = cos(π/5) = (1 + √5)/4ですので、cos(4π/5) = -x = -(1 + √5)/4と求まります。
ただ、調べてみたらもっと簡単な方法があったので、リンクを載せておきます。参考にしてみてください。
http://denofhardworking.blog.fc2.com/blog-entry-123.html
