logの中に変数を含む方程式の解法
対数を含む方程式で人間に「解ける」のはlog?=?の形のものだけです。逆に言えば、この形の方程式ならどんな方程式でも対数を外すことができます。つまり、殆どの対数を含む方程式は
①log?=?の形にする
ことが一つのゴールになるわけです。
あとは
②対数法則を用いてlog?=log?の形にする
③底が同じなら「logA=logB」のとき「A=B」である ということを用いてlogを外す
④方程式「A=B」を解く
で終わりです。
さて、では問題は①の形をどう作るかですね。そのために有効なのが以下の3つの手段です。
1.底を揃える
底が揃えば、「対数法則」を用いてlog同士をまとめやすくなります。logを
2.logの中身を揃える
logの中身が不揃いだと、それぞれxの値によってバラバラに動くので、実質的な2変数関数となってものすごく扱いにくいです。だからlogの中身は揃えると良いでしょう。
3.logについての方程式を解く
logの中身が揃っているのなら、あとは「log?=?の形にする」だけです。
この操作、どこかで見覚えがありませんか？「与えられた式からx=?の形を作る」のと同じ操作です。
そう、今までやってきた種々の「方程式」がこれに当たります。
もしlogについての方程式が見えにくければ、一旦log？=t などで置くと分かりやすいでしょう。
この原則で大抵の対数を含む方程式には対応できます。やってみて難しければ返信ください。具体的に問題を解説します。
底がないlogについて、常用対数(ｅ)なのか自然対数(10)なのかわからないのですが、ここでは常用対数として考えます
(7)(14)は、すでにlog?=log?の形に整理されています。
底が同じであることに注意して、そのままlogを外します。
するとそれぞれ7x=2x+0.5、x=x^2-12となり、あとはただの方程式の問題です。(x=0.1)(x=4 (-3は「真数≧0」より不適))
(8)(10)は既に①log?=?の形になっています。
あとはそれぞれ4=log(16)、2.5=log(5^(5/2))なので、(画像参照)
1+x/2=16
x^4=5^5/2
あとは方程式を解くだけです。(x=30)(x=±5^5/8)
(9)(11)(12)は、logをlogA+logB=logAB,logA-logB=logA/B
を用いて、それぞれlog(x/3.1)=2、log(100)=2=x、2=log((x^2)/4)
あとは方程式を(以下略) (x=310)(x=2)(x=20(「真数≧0」よりx=-20不適))
(13)はまず2で割って3^(x-1)=81=3^4
これは指数関数を含む方程式ですから、「底が等しいなら指数=指数」であることを用いて、
x-1=4
あとは(以下略) (x=3)
解き方は理解できました🙇🏻♀️
もし良ければ問題を解説していただけませんか??
よろしくお願いします。