Question

しょたろ

この一橋の問題で
僕の解いた解き方と解説が全然違うんです
(答えは合っていました)
逆にこの解説は間違った書き方な気がします。
誰かお教え下さい🥺
1枚目が解説
2,3枚目は僕の解答です

れ         ッは 1<z<y および(+エ)(  +

よ
(の 自然数xy zは1<z<y<z おさび (1せエ)

その組をすべて求めよ

3い

整数 数a

Answer 1

LUX SIT

2ヶ月前の質問なので読んでもらえるか分かりませんが, 他の人の参考になるかもしれないので回答します.
***
しょたろさんの解答をチェックしましたが大丈夫です.
不等式のことが分かっていれば, 以下のようにもう少し巧く解けたはずです.
***
自然数x, yに関して1<x<yならば0<1/y<1/x<1⇔1<(1+1/y)<(1+1/x)<2がいえる.
[並び替えの不等式から所望の等式に関する関係を導く.]
これを利用すると
(1+1/x)(1+1/y)=5/3<(1+1/x)^2⇒√(5/3)<1+1/x⇔x<(3/2){√(5/3)+1}
が導かれる.
[一つの文字式に揃える. 同じ形なので出来るだけバラさないように工夫しよう.]
ここで1.2<√(5/3)<1.3なので3.3<(3/2){√(5/3)+1}<3.45.
[具体的な数値をきっちり求められない場合は不等式で評価する.]
すなわちxは1<x<3.45の範囲にある自然数である2と3に限られる.
x=2のとき(1+1/2)(1+1/y)=5/3⇔y=9で1<x<yを満たす.
x=3のとき(1+1/3)(1+1/y)=5/3⇔y=4で1<x<yをみたす.
[必要十分であることを確認する.]
以上から求めるべきx,　yの組は(x, y)=(2, 9), (3, 4)である.
***
*解説はx≧4, y≧5のとき, 等式が破綻することを見抜いて書いてます
([3]を最初に考えてから[1],[2]を書く方が解答としては自然でしょう).
関数f(x)=1+1/xがxに関して単調減少することが分かれば適当な上界を探せます.
この方針でよりエレガントに解くなら
[解答例]
1+(1/x)はx>1において単調減少であるから
5/3={1+(1/x)}(1+(1/y))≦{1+(1/x)}{1+(1/(x+1))}=(x+2)/x
⇔5x≦3x+6⇔x≦3
がいえる. あとは上と同じです.

LUX SIT

[追加研究]
最後の解き方がおそらく試験作成者が用意した模範解答だと思われます.
(2)を解けばそれがよく分かります.
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(1)と同様に考えると
12/5≧{1+(1/x)}{1+(1/(x+1))}{1+(1/(x+2))}=(x+3)/x
⇔5x+15≦12x⇔x≦15/7. 1<x≦15/7を満たす自然数xは2のみである.
このとき
12/5≧{1+(1/2)}{1+(1/y)}{1+(1/(y+1))}
⇔8/5≧(y+2)/y⇔y≦10/3. 2<y≦10/3を満たす自然数yは3のみである.
さらに
12/5=(1+(1/2))(1+(1/3))(1+(1/z))
⇔z=5なので確かに条件を満たす自然数zは存在する.
以上から求めるべき自然数x, y, zの組は(x, y, z)=(2, 3, 5)のみである.
***
正しい方向に舵を切ってみると, 実に簡単な問題です.
そういった意味では非常によくできた問題といえるでしょう.
必要以上に解法が込み入ったり, 計算が泥沼化したときはこのように再考してみるのも手です.
高得点勝負の医学部志望者なら特に大事なことですよ.