Question

リオ

赤い部分の式変形がよくわからないので教えて下さい。

その次の行のテイラー展開もよくわからないです。
公式自体はわかっているのですが、、、
どこの周りでテイラー展開しているのでしょうか？？
x₁周りというのはよくわからないです。

よろしくお願いします。

台形公式による数値積分では 分割数y を大きくするとその誤差は小さくなるこ
とは直 感で分かる. それでは. 分割数を増やしていくとどのように精度が良くな
るのか考えてみ よう.

まずは, 式4のある一つの台形の面積と実際の積分の値を比較する. 台 形の面積
は, 台形公式より.

e+ガm+

 

となる. これを実際の積分

7

 

と比較することにする. これら2つの式の形がぜんぜん違うので比較できないと考
えるか もしれないが. このような場合の常本手段がある. このようなときには.
テーラー展開を すれば良いのである. 式(5)を:, の周りで,. テイラー展開す ると

にeyes
LOEOY/ m+ だ) ]

  

となる. これが台形の面積のテイラー展開である. 一方, 積分の 式(6)もテイラー

人3  )
7m+9M

展開する. これは,

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

赤い部分は x=x₁+ξ と置換しています

その次のテイラー展開について、関数f(x)をx=x₁の周りでテイラー展開すると
f(x)=f(x₁)+f'(x₁)(x-x₁)+{f"(x₁)/2!}(x-x₁)²+{f'"(x₁)/3!}(x-x₁)³+…
となりますが、xにx₁+ξを代入すると画像の式になります
どこでつまづいているのかよく分かっていないのですが、こういうことですかね？違ったらコメント等で補足してください

リオ

そのように置換しているのは分かっていたのですが、積分区間に関して勘違いをしていたようです。

テイラー展開についても分かりました！
f(x₁+ξ)からテイラー展開をしようとしていたからよく分かりませんでした。

ちなみにf(x₁+ξ)からテイラー展開をすることも可能ですよね？その場合はどのような式変形になるか教えていただけますか？

gößt

f(x₁+ξ)からテイラー展開したとしてもほぼ変わらないような…
強いて書くなら
f(x₁+ξ)=f(x₁)+f'(x₁)(x₁+ξ-x₁)+{f"(x₁)/2!}(x₁+ξ-x₁)²+…
=f(x₁)+f'(x₁)ξ+{f"(x₁)/2!}ξ²+…
となるくらいな気がします
それとも私が知らないだけで何か別の変形方法があるのでしょうか

リオ

申し訳ないです、そこも勘違いしてたようです。
f’(x₁+ξ)などが出てくると思ってましたが、x＝x₁の周りなら違いました。

大丈夫です、解決しました！
いつもありがとうございます！

gößt

いえいえ
勉強したての頃だと変な勘違いはよくあることです
解決してよかったです(｀・ω・´)