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(証)
任意に α∈ℝ をとる
(i)α=0のとき
ε=1/2 とおく。任意の N∈ℕ に対して n=6N+1 とすれば n>N で
|a[n]-α|＝|sinπ(6N+1)/3|
＝|sin(π/3)|
＝√3/2>1/2=ε
(ii)α≠0のとき
ε=|α|/2 とおく。任意の N∈ℕ に対して n=6N とすれば n>N で
|a[n]-α|＝|sinπ(6N)/3-α|
＝|α|>|α|/2=ε
以上(i)(ii)より、{sin(πn/3)}は発散する ◽︎
n=6N+4は良いのですか？
それでもいいですよ。「∃n」なので、Nより大きな自然数nで条件を満たすものならなんでもOKです
わかりました！
ありがとうございます
おこがましいですが、発散の問題の考え方がイメージできなくて、できれば教えていただけませんか
どうやって説明すればいいか考えていたら返信が遅くなってしまいました
{x[n]}が発散するとは「任意の実数αに対して{x[n]}がαに収束しない」と言い換えられますね
{x[n]}がαに収束するというのは、αに含む開区間 I=(α-ε,α+ε) が与えられたとき、ある番号N以降は{x[n]}の点が全てIの中に入っているような状態を言います。逆に開区間Iをめちゃくちゃ小さくすることで、いつまでたっても{x[n]}の点がIの中に収まらない(⇔Iからはみ出るような{x[n]}の点が無限にある)場合{x[n]}はαに収束しません
x[n]=sin(nπ/3) のときで考えます。例えばα=1の場合、αを含む開区間 I=(1/2,3/2) を取れば{x[n]}の点x₃, x₆, x₉, …はどれも0なのでIに含まれません。α=1/2の場合、I=(1/4,3/4) とすればやはりx₃, x₆, x₉, …はIに含まれません
同じように考えれば、αが正のときは I=(α/2,3α/2) とすることで収束しないことが示せるとわかります。αが負のときもほぼ同様ですね。証明時のnの取り方は、Nに対してNより大きな3の倍数を取ればよいのでn=3Nとかn=6Nなどで対処できます
残ったのはα=0の場合ですが、これも{x[n]}の点が無限個はみ出るように開区間をちっちゃく取るという考え方は同じです
ありがとうございます😊