✨ ベストアンサー ✨
とりあえず追加の画像をどうぞ
どうでしょうか、わかりそうですか？
分かりそうな気がします。内容が重たそうだったので後回しにしてました、すみません
<2枚目前半>
(5)の lim[x→a+0]f(x)＝∞ より、
∀M∈ℝ, ∃η>0 s.t. ∀x∈(a,a+η), f(x)>M
が言えます。特にここでは、M=|f(y₀)|/ε に対してこれを適用することで、
a<x<a+η ⇒ f(x)>|f(y₀)|/ε i.e. |f(y₀)/f(x)|<ε
を満たす η>0 が取れます
ηは必要に応じて小さくすることで η<y₀-a とできます。具体的には、例えば上で取ったηに対して
η'＝min{η, (y₀-a)/2}
のようにη'を取ればη'がηの代わりに条件を満たします
<2枚目後半>
この部分は証明の見通しをよくするために感覚的な説明を付け加えたものなので、証明の上では瑣末な部分というかあまりこだわらなくてもいい所だとは思います。今はご質問されていますのできちんと説明しますが
ところで、分からないというのは感覚的にピンとこないという意味なのか、感覚的には分かるが数式でどのように表現できるか分からないという意味なのか、どちらでしょうか？それによって説明を変えようと思います
３つめの質問内容についてはまた読んでからお返事しむす
二枚目の後半に関して、
感覚的には理解していますが、数式での表現が分からない状態です。
前半に関して、
まだしっかり全てを把握できていないので、全てを自分なりに解釈した後に質問するかもしれないです。
よろしくお願いします。
<2枚目後半>
要点は赤線以降の説明に含まれています。質問画像の説明は元の命題の証明をゴールとして書かれていますが、これを赤線の部分がゴールとなるように読み換えてやればいいです
{f(x)-f(y₀)}/{g(x)-g(y₀)}
＝{f(x)/g(x)}×{1-f(y₀)/f(x)}/{1-g(y₀)/g(x)}
であり、ε<1 ならば
|{1-f(y₀)/f(x)} / {1-g(y₀)/g(x)}|
＝|1-f(y₀)/f(x)| / |1-g(y₀)/g(x)|
≦ {1+|f(y₀)/f(x)|} / {1-|g(y₀)/g(x)|}
≦ (1+ε)/(1-ε)
なので f(x)-f(y₀)}/{g(x)-g(y₀) は {f(x)/g(x)}×(1+ε)/(1-ε) と －{f(x)/g(x)}×(1+ε)/(1-ε) の間にあります
ε>0 はいくらでも0に近づけることができますから (1+ε)/(1-ε) はいくらでも1に近づけられます。よって {f(x)-f(y₀)}/{g(x)-g(y₀)} はいくらでも f(x)/g(x) に近づけられます
<ε<1/2としてよい理由>
直感的にはεは十分小さい実数を考えているからですが、より正確に議論するなら与えられた任意の正数εに対して ε'=min{1/3,ε} 等と置いて以降の証明を全てε'で論ずればいいです
<追加画像>
後半の式変形に違いがあるものの、それ以外はほぼ同じと見ていいでしょう。質問画像3枚目で述べられている16通りのパターンは追加画像のやり方でも似たような形で示せると思います
いえいえ
分数が多くて読みづらくなってしまいましたが理解できたなら良かったです
こちらです、よろしくお願いします。