Question

papiko

この問題の(2)なのですが、解答の「pは奇数であるから，p=4k+1,p=4k+3のどちらかで表される」となっていますが、奇数なら何故2k+1ではダメなのでしょうか。

NB.問0

154 (1) ヵを整数とするとき, ヵ(ヵ填1)(ヵ填2) は6 の倍数であることを示せ。
(2) ヵ>2 である整数ヵ が素数であるとき, (ヵー1ヵ(ヵ填1) は 24 の倍数であ
ることを示せ。

(3) ヵ>3 であり,ヵと ヵ十2 がともに素数であるとき, ヵ†上1 は 6 の倍数であ
ることを示せ。                                  2 大阪学院大〕

いに素な自然数で。のの) とおける。

153 (2) 背理法で示す。
154 (2) 3の倍数かつ 8 の倍数であることを示す。

1 150 (3) 2つの自然数を 6, 5 (=0) とすると o三84g', の三84が (2, が は互

1 5 4 (1) ヵ ヵ填1は連続する 2 つの整数であ
るから, どちらか一方は 2 の倍数である。
よって, がz圭1(ヶ十2) は 2 の倍数である。
か が十1, ヵ填2 は連続する 3 つの整数であるか
ら, いずれか 1 つは 3 の倍数である。
よって, が十1)(z十2) は 3 の倍数である。
ゆえに, z十1(ヵ填2) は 2 の倍数かつ 3 の倍数
であるから, 6 の倍数である。
(②) (1) と同様に考えると, (カー1)が1) は 3 の倍
数である。
(ヵー1)ががヵ十1) が 8 の倍数であることを示す。
ヵは奇数であるから, カニ4二1, ヵー4十3
(を は整数)のどちらかの形で表される。
[1] ヵ=4を+1のとき       )
(カー1)ががヵ十1)=4A4を十1)(4を圭2)
=8&4を十1)(2を1)
よって, (ヵー1)がヵ十1) は 8 の倍数である。
[2] ヵ=ニ4を+3 のとき
(ヵー1)ヵ十1)=ニ(4を十2)(4を十3)4を十4)
8(2二1)(4を十3)(ヵ十1)
よって, (ヵー1)がヵ十1) は 8 の倍数である。
[1 [2] から, (ヵー1)ヵ1) は 8 の倍数である。
したがって, (ヵー1)ヵ1) は 3 の倍数かつ 8 の
倍数であるから, 24 の倍数である。
 ヵが奇数であれば, (ヵー1)あ1) は 24 の
許数である。
よって, ヵが素数である必要はない。